Предельные переходы и топологии. Горева Г.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Первое условие Фреше следует из определения верхнего и нижнего
пределов, второе из леммы 2.*
Введённый предел называется
порядковым секвенциальным пределом. Таким образом,
последовательность
(
)
n
X порядково секвенциально сходится к
A
, т. е. , если
()
limosAX
n
→
AXlimXlim
nn
== .
Докажем, что поряковый секвенциальный предел согласован с теоретико множествен-
ными операциями и отношением включения.
Лемма 3. Для любых последовательностей
(
)
n
X и
(
)
n
Y , если для любого
Nn ∈
nn
YX ⊆ , то
nn
YlimXlim ⊆ .
Доказательство. Следует из определений верхнего и нижнего пределов и замечания о
них.*
Лемма 4. Для любых последовательностей
(
)
n
X и
(
)
n
Y , где , , P∈
nn
Y,X
Nn ∈
nnnnnnnn
YlimXlimYXlimYXlimYlimXlim ∪=∪⊆∪⊆∪ .
Доказательство. Так как
и , то по лемме 3
nnn
YXX ∪⊆
nnn
YXY ∪⊆
nnn
YXlimXlim ∪⊆ и
nnn
YXlimYlim ∪⊆ , и первое включение доказано. Второе включение
следует из Леммы 1.
Включение
nnnn
YXlimYlimXlim ∪⊆∪ также следует из леммы 3. Обратно, пусть
nn
YXlima ∪∈ . Тогда при бесконечно многих значениях , а, следовательно,
при бесконечно многих значениях или
nn
YXa ∪∈ n
n
Xa ∈
n
n
Ya
∈
при бесконечно многих значениях .
Тогда
n
n
Xlima ∈ или
n
Ylima ∈ . В целом
nn
YlimXlima ∪∈ и
nnnn
YlimXlimYXlim ∪⊆∪ , отсюда следует последнее равенство.*
Теорема 2. Если для любого натурального и n
nn
YX ⊆
(
)
limosAX
n
→ и
, то .
()
limosBY
n
→ BA ⊆
Доказательство. Следует из леммы 3 и определения
(
)
(
)
limos
.*
Теорема 2 говорит о согласованности
(
)
limos с отношением включения.
12
        Доказательство. Первое условие Фреше следует из определения верхнего и нижнего
пределов, второе из леммы 2.*


        Введённый предел называется порядковым секвенциальным пределом. Таким образом,
последовательность ( X n ) порядково секвенциально сходится к A , т. е. X n → A(os ) lim , если

lim X n = lim X n = A .


        Докажем, что поряковый секвенциальный предел согласован с теоретико множествен-
ными операциями и отношением включения.


        Лемма 3. Для любых последовательностей ( X n ) и (Yn ) , если для любого n ∈ N

                                X n ⊆ Yn , то lim X n ⊆ lim Yn .
        Доказательство. Следует из определений верхнего и нижнего пределов и замечания о
них.*


        Лемма 4. Для любых последовательностей ( X n ) и (Yn ) , где X n ,Yn ∈ P , n ∈ N ,

        lim X n ∪ lim Yn ⊆ lim X n ∪ Yn ⊆ lim X n ∪ Yn = lim X n ∪ lim Yn .

        Доказательство.         Так   как     X n ⊆ X n ∪ Yn       и   Yn ⊆ X n ∪ Yn ,       то   по   лемме      3

lim X n ⊆ lim X n ∪ Yn и lim Yn ⊆ lim X n ∪ Yn , и первое включение доказано. Второе включение
следует из Леммы 1.
        Включение lim X n ∪ lim Yn ⊆ lim X n ∪ Yn также следует из леммы 3. Обратно, пусть

a ∈ lim X n ∪ Yn . Тогда a ∈ X n ∪ Yn при бесконечно многих значениях n , а, следовательно,

a ∈ X n при бесконечно многих значениях n или a ∈ Yn при бесконечно многих значениях n .

Тогда a ∈ lim X n или a ∈ lim Yn . В целом a ∈ lim X n ∪ lim Yn и

        lim X n ∪ Yn ⊆ lim X n ∪ lim Yn , отсюда следует последнее равенство.*


        Теорема 2.        Если для любого натурального n                   X n ⊆ Yn      и    X n → A(os ) lim   и

Yn → B (os ) lim , то A ⊆ B .

        Доказательство. Следует из леммы 3 и определения ((os ) lim ) .*


        Теорема 2 говорит о согласованности (os ) lim с отношением включения.

                                                                                                                 12

Страницы