Составители:
Рубрика:
Каноническая форма кривых второго порядка 37
Задание 7. Каноническая форма кривых второго п о-
рядка
Пример выполнения задания 7
Задача. Дано уравнение кривой второго порядка
5x
2
+ 4xy + 8y
2
− 52x − 64y + 164 = 0.
Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем
параллельный перенос координатных осей, преобразовать к канониче-
скому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в канони-
ческой и исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Решение. Выполняем поворот осей по формулам
x = x
1
cos α − y
1
sin α,
y = x
1
sin α + y
1
cos α
Подставим эти выражения для x и y в исходное уравнение и выделим
коэффициент при x
1
y
1
:
5
x
2
1
cos
2
α − 2x
1
y
1
cos α sin α + y
2
1
sin
2
α
+
+4
x
2
1
cos α sin α +
cos
2
α − sin
2
α
x
1
y
1
− y
2
1
sin α cos α
+
+8
x
2
1
sin
2
α + 2x
1
y
1
sin α cos α + y
2
1
cos
2
α
−
−52 (x
1
cos α − y
1
sin α) − 64 (x
1
sin α + y
1
cos α) + 164 = 0.
Приравняв нулю коэффициент при x
1
y
1
, получаем:
−10 cos α sin α + 4 cos
2
α − 4 sin
2
α + 16 sin α cos α = 0,
откуда (tg α)
1
= 2, (tg α)
2
= −1/2. Зная tg α, можно найти sin α и cos α
по формулам тригонометрии:
sin α = ±
tg α
p
1 + tg
2
α
, cos α = ±
1
p
1 + tg
2
α
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
