Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
§ 5. Дифференциальное уравнение движения
5.1. Основная задача динамики
В зависимости от характера решаемой задачи, используют уравнение
движения не только в интегральной форме (4.3), но и в дифференциальной
форме. Уравнение движения в дифференциальной форме может быть по-
лучено подстановкой в интегральное уравнение (4.3) выражения ускорения
материальной точки:
d
w
dt
υ
=
G
G
, (5.1)
где
υ
G
– вектор скорости материальной точки. Соотношение (4.3) с учётом
соотношения (5.1) преобразуется к уравнению в дифференциальной форме:
d
mF
dt
υ
⋅
=
G
G
, (5.2)
где
1
n
i
i
FF
=
=
∑
GG
. Поскольку
2
2
dr
w
dt
=
G
G
уравнение движения можно преобразо-
вать к общему виду:
2
2
dr
mF
dt
=
G
G
. (5.3)
Если закон движения материальной точки задан в координатной
форме, то есть, известны зависимости координат точки от времени:
(); (); ()
x
xt y yt z zt===, то векторное уравнение (5.3) можно заменить
эквивалентной системой скалярных дифференциальных уравнений:
;
;
;
x
x
y
y
z
z
d
mF
dt
d
mF
dt
d
mF
dt
υ
υ
υ
⎧
⋅=
⎪
⎪
⎪
⋅=
⎨
⎪
⎪
⋅=
⎪
⎩
или
2
2
2
2
2
2
;
;
.
x
y
z
dx
mF
dt
dy
mF
dt
dz
mF
dt
⎧
⋅=
⎪
⎪
⎪
⋅=
⎨
⎪
⎪
⋅=
⎪
⎩
(5.4)
При естественном способе задания движения (с помощью парамет-
ров траектории), когда известна траектория движения материальной точки,
удобно вектор силы и ускорения представить в виде векторной суммы
нормальной и касательной составляющей (рис. 5.1): 
                 § 5. Дифференциальное уравнение движения

                       5.1. Основная задача динамики

       В зависимости от характера решаемой задачи, используют уравнение
движения не только в интегральной форме (4.3), но и в дифференциальной
форме. Уравнение движения в дифференциальной форме может быть по-
лучено подстановкой в интегральное уравнение (4.3) выражения ускорения
материальной точки:
                                                 �
                                           � dυ
                                           w=      ,                       (5.1)
                                                dt
     �
где υ – вектор скорости материальной точки. Соотношение (4.3) с учётом
соотношения (5.1) преобразуется к уравнению в дифференциальной форме:
                                               �
                                             dυ �
                                         m⋅      =F,                       (5.2)
                                             dt
     � n �                                �
                                    � d 2r
где F = ∑ Fi . Поскольку w = 2 уравнение движения можно преобразо-
           i =1                        dt
вать к общему виду:
                                               �
                                            d 2r �
                                        m⋅ 2 = F .                         (5.3)
                                            dt
       Если закон движения материальной точки задан в координатной
форме, то есть, известны зависимости координат точки от времени:
x = x(t ); y = y (t ); z = z (t ) , то векторное уравнение (5.3) можно заменить
эквивалентной системой скалярных дифференциальных уравнений:

⎧ dυ x                                  ⎧ d 2x
⎪m ⋅ dt = Fx ;                          ⎪m ⋅ dt 2 = Fx ;
⎪                                       ⎪
⎪ dυ y                                  ⎪ d2y
⎨m ⋅    = Fy ;          или             ⎨m ⋅ 2 = Fy ;                    (5.4)
⎪    dt                                 ⎪    dt
⎪ dυ z                                  ⎪ d 2z
⎪m ⋅ dt = Fz ;                          ⎪m ⋅ 2 = Fz .
⎩                                       ⎩ dt

      При естественном способе задания движения (с помощью парамет-
ров траектории), когда известна траектория движения материальной точки,
удобно вектор силы и ускорения представить в виде векторной суммы
нормальной и касательной составляющей (рис. 5.1):




                                      10

Страницы