Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 12 стр.

на материальную точку. Решение задачи сводится к определению ускоре-
            �
     � d 2r
ния w = 2 , то есть выполняется относительно просто.
         dt
      Задача второго типа, называемая основной, состоит в том, чтобы,
             � n �
зная силы F = ∑ Fi , действующие на материальную точку известной мас-
                  i =1
сы m , найти положение материальной точки в момент времени t , то есть
найти координаты или радиус-вектор точки как функцию времени. Одна из
существенных трудностей, возникающих при решении данной задачи, со-
стоит в необходимости выявления основных взаимодействий, определяю-
щих характер движения тела и законы действующих сил. Поскольку урав-
нение движения материальной точки (5.3) или (5.4) является дифференци-
                                                                         �
альным уравнением второго порядка относительно координат [ r (t ) или
x(t ), y (t ), z (t ) ], то решение задачи сводится к интегрированию уравнения
движения. В зависимости от закона сил, действующих на тело, это диффе-
ренциальное уравнение второго порядка может быть как линейным, так и
нелинейным. В общем виде интеграл (то есть решение) этого уравнения
зависит от шести постоянных интегрирования, которые в конкретной зада-
                                                                 � �
че могут быть определены из начальных условий: r = r (t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) .
                                                          �          � �
Наиболее просто эта задача решается, если F = const или F = F (t ) . В этих
случаях уравнение движения можно решить простым интегрированием,
предварительно разделив переменные. В общем случае приходится решать
дифференциальное уравнение второго порядка.
        Рассмотрим пример решения одномерной задачи динамики, связан-
ный с интегрированием дифференциального уравнения второго порядка.
Под действием постоянной силы Fx = const материальная точка массой m
                                                              F
движется равноускоренно вдоль оси OX : wx = x = const = C . Поскольку
                                                               m
       dυ                                                F
wx = x , можно получить: dυ x = wx ⋅ dt = x ⋅ dt = C ⋅ dt . Интегрирование
        dt                                               m
данного выражения даёт:
                                   υ x = C ⋅ ∫ dt = C ⋅ t + C1 ,              (5.10)
                                                                  dx
где C1 — постоянная интегрирования. Поскольку υ x =                  = C ⋅ t + C1 , мож-
                                                                  dt
но выразить dx :
                          dx = C ⋅ t ⋅ dt + C1 ⋅ dt .
Интегрирование полученного уравнения позволяет установить вид зависи-
мости координаты х от времени:


                                           12