Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
2
112
2
Ct
x
CtdtC dt CtC
⋅
=⋅⋅+ ⋅ = + ⋅+
∫∫
, (5.11)
где
2
C – постоянная интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования
1
C и
2
C необходимо
задать начальные условия: при 0t
=
0
(0)
x
x
=
(5.12а)
и
0
(0)
υ
υ
=
. (5.12б)
Подстановка условия (5.12.б) в уравнение (5.10) позволяет определить по-
стоянную интегрирования
1
C :
011
(0) 0
x
CC C
υ
υ
=
=⋅ + = , следовательно
10
C
=
. (5.13)
Подстановка условия (5.12.а) в уравнение (5.11) позволяет определить по-
стоянную интегрирования
2
C
:
0122
0
(0) 0
2
C
x
xCCC
⋅
=
=+⋅+=, следова-
тельно:
20
Cx
=
. (5.14)
Решение задачи получается подстановкой выражений постоянных интег-
рирования (5.13) и (5.14) в уравнение (5.11):
2
00
2
Ct
x
tx
υ
⋅
=
+⋅+. (5.15)
Следовательно, путь, пройденный материальной точкой за время t , опре-
деляется выражением:
2
00
2
Ct
Sxx t
υ
⋅
=
−= +⋅
. (5.16)
Выражение (5.16) является известным уравнением перемещения матери-
альной точки при равноускоренном движении.
5.2. Третий закон динамики (Ньютона)
Содержание третьего закона Ньютона заложено во втором законе динами-
ки материальной точки – любое действие одного тела на другое имеет
характер взаимодействия.
Согласно третьему закону Ньютона при взаимодействии двух тел
каждое из тел
действует на другое (в один и тот же момент времени) с
одинаковыми по величине, но противоположно направленными силами
(рис. 5.2), то есть:
12 21
FF=
G
G
(5.17)
и
12 21
FF
=
−
G
G
. (5.18) 
                                                    C ⋅t2
                     x = C ⋅ ∫ t ⋅ dt + C1 ⋅ ∫ dt =        + C1 ⋅ t + C2 ,           (5.11)
                                                      2
где C2 – постоянная интегрирования.
      Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 необходимо
задать начальные условия: при t = 0
                                        x(0) = x0                                  (5.12а)
и
                                        υ (0) = υ0 .                               (5.12б)
Подстановка условия (5.12.б) в уравнение (5.10) позволяет определить по-
стоянную интегрирования C1 : υ x (0) = υ0 = 0 ⋅ C + C1 = C1 , следовательно
                                       C1 = υ0 .                                     (5.13)
Подстановка условия (5.12.а) в уравнение (5.11) позволяет определить по-
                                                      C ⋅0
стоянную интегрирования C2 : x(0) = x0 =                     + C1 ⋅ 0 + C2 = C2 , следова-
                                                        2
тельно:
                                       C2 = x0 .                                     (5.14)
Решение задачи получается подстановкой выражений постоянных интег-
рирования (5.13) и (5.14) в уравнение (5.11):
                                    C ⋅t2
                               x=          + υ0 ⋅ t + x0 .                           (5.15)
                                       2
Следовательно, путь, пройденный материальной точкой за время t , опре-
деляется выражением:
                                              C ⋅t2
                             S = x − x0 =            + υ0 ⋅ t .                      (5.16)
                                                2
Выражение (5.16) является известным уравнением перемещения матери-
альной точки при равноускоренном движении.

                      5.2. Третий закон динамики (Ньютона)

Содержание третьего закона Ньютона заложено во втором законе динами-
ки материальной точки – любое действие одного тела на другое имеет
характер взаимодействия.
      Согласно третьему закону Ньютона при взаимодействии двух тел
каждое из тел действует на другое (в один и тот же момент времени) с
одинаковыми по величине, но противоположно направленными силами
(рис. 5.2), то есть:
                                �      �
                                F12 = F21                      (5.17)
и                                          �       �
                                           F12 = − F21 .                            (5.18)

                                            13

Страницы