Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 16 стр.

      Подстановка уравнения (5.29) в выражение (5.28) позволяет выра-
зить ускорение бруска:
                         w = g ⋅ (sin α − k ⋅ cos α ).
      Пример 3. Небольшое тело массой m без начальной скорости со-
скальзывает с вершины гладкой сферы радиусом r (рис. 5.6). Определите
скорость тела в момент его отрыва от плоскости.
                                                                           �
                              На тело действуют сила тяжести m ⋅ g и
                                                       �
                       нормальная сила реакции N (рис. 5.6). Записывая
                       уравнение движения (5.7) в проекциях на подвиж-
                                                    �                     �
                       ные орты нормали n и касательной τ к
                       траектории, получим:
                                         dυ            υ2
                                      m⋅    = Fτ , m ⋅ = Fn .            (5.30)
                                         dt              r
       Рис. 5.6               Для рассматриваемой задачи (рис. 5.6), урав-
нения (5.30) преобразуются к виду:
                    dv                         v2
                 m⋅    = m ⋅ g ⋅ sin α и m ⋅ = m ⋅ g ⋅ cos α − N .       (5.31)
                    dt                         r
      Преобразуем первое из уравнений (5.31) к виду, удобному для интег-
                                                d � r ⋅ dα
рирования. Воспользовавшись тем, что dt =          =       , где d � — элемен-
                                               υ      υ
тарный путь тела за промежуток времени dt , преобразуем первое из урав-
нений (5.31) к виду: υ ⋅ dυ = g ⋅ r ⋅ sin α ⋅ dα .
      Проинтегрировав левую часть этого выражения в пределах от 0 до υ ,
а правую часть – в пределах от 0 до α , получим:
                           v 2 = 2 ⋅ g ⋅ r ⋅ (1 − cos α ) .       (5.32)
      В момент отрыва тела от сферы N = 0 , поэтому второе из уравнений
(5.31) принимает вид:
                               v 2 = g ⋅ r ⋅ cos α ,              (5.33)
где υ и α значения соответственно скорости и угла α в точке отрыва тела
от сферы. Исключая cos α из уравнений (5.32) и (5.33) можно выразить
скорость тела в момент отрыва:
                                        2⋅ g ⋅r
                               υ=                .
                                           3
                § 6. Релятивистское уравнение движения
      Изменение представлений о пространстве и времени, выраженное в
преобразованиях Лоренца, оказывает влияние на всю физику. Это привело,
в частности, к замене требования инвариантности физических законов от-
носительно преобразований Галилея требованием их инвариантности от-
носительно преобразований Лоренца. Уравнение движения Ньютона
                                      16