Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 19 стр.

                                                 ⎡ ⎛           ⎞⎤
                                                 ⎢ ⎜       � ⎟⎥ � �
                                                   d    υ ⋅τ ⎟⎥
                                            m0 ⋅ ⎢ ⎜              = Fτ + Fn .     (6.6)
                                                 ⎢ dt ⎜    υ 2 ⎟⎥

                                                 ⎢ ⎜ 1 − 2 ⎟⎥
                                                 ⎣ ⎝        c ⎠⎦

                                                  Выражение в квадратных скоб-
                                            ках уравнения (6.6) следует преобра-
                                            зовать к виду:

                Рис. 6.2
                   ⎛          ⎞    ⎛       ⎞
                   ⎜     �    ⎟    ⎜       ⎟                �
                d ⎜ υ ⋅τ        d
                              ⎟= ⎜    υ       �
                                           ⎟ ⋅τ +  υ      dτ
                                                        ⋅     .                   (6.7)
                dt ⎜     υ2   ⎟ dt ⎜    υ ⎟
                                         2
                                                     υ 2 dt
                   ⎜ 1− 2     ⎟    ⎜ 1− 2 ⎟       1− 2
                   ⎝     c    ⎠    ⎝    c ⎠          c
Поскольку
                ⎛          ⎞                 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⋅ υ ⎞ dυ
                ⎜          ⎟              υ ⋅⎜− ⎟⋅⎜− 2 ⎟⋅
             d⎜ υ              1      dυ
                                         + ⎝
                           ⎟=                  2 ⎠ ⎝ с ⎠ dt
                                    ⋅                           ,
             dt ⎜   υ2     ⎟     υ 2 dt
                                                         3

                ⎜ 1− 2     ⎟  1− 2              ⎛ υ ⎞2 2

                ⎝   c      ⎠     c              ⎜ 1− 2 ⎟
                                                ⎝ c ⎠
можно записать:
                                 ⎛    ⎞
                                 ⎜    ⎟
                              d⎜ υ    ⎟=        1            dυ
                                                           ⋅      .                (6.8)
                              dt ⎜    ⎟υ2
                                                        3
                                                             dt
                                      ⎟ ⎛1 − υ ⎞
                                                   2 2
                                 ⎜ 1 −
                                 ⎝    ⎠ ⎜ c2 ⎟
                                       c2
                                            ⎝        ⎠
Учитывая соотношения (6.7) и (6.8) уравнение (6.6) можно записать в виде:
                                                                  � � �
                        m0       dυ �          m0              dτ
                             3
                               ⋅    ⋅τ +              1
                                                          ⋅υ ⋅        = Fτ + Fn .  (6.9)
                                 dt                             dt
                   ⎛ υ2 ⎞2                 ⎛ υ2 ⎞2
                     1 −
                   ⎜ c2 ⎟                  ⎜1 − c 2 ⎟
                   ⎝       ⎠               ⎝        ⎠
      С другой стороны, ускорение можно представить в виде суммы тан-
генциальной и нормальной составляющей:
                           �                                     �
                     � dυ d             � dυ �                 dτ �          �
                     w=       = (υ ⋅ τ ) =        ⋅τ + υ ⋅            = wτ + wn . (6.10)
                          dt dt               dt               dt
Здесь
                                                                �
                                � dυ � �                     dτ
                               wτ =      ⋅ τ ; wn = υ ⋅             .             (6.11)
                                     dt                       dt
                                            19