Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 21 стр.

      Рассмотрим пример применения релятивистского уравнения движе-
ния для описания перемещения частицы, движущейся со скоростью, близ-
кой к скорости света.
                                                           �
      Релятивистский протон с импульсом p0 влетел в момент времени
t = 0 в область, где имеется поперечное
                                  �                  движению
                                                           �         однородное электриче-
                                                    �
ское поле напряжённостью E , причём p0 ⊥ E . Найти зависимость от вре-
мени угла α , на который протон будет отклоняться от первоначального
направления движения.
      Решение следует начать с выбора системы                  � координат: ось х направ-
                      �
лена вдоль вектора p0 , а ось у – вдоль вектора E . Уравнение динамики ре-
лятивистской частицы в проекциях на эти оси имеет вид:
                              dpx                dp y
                                     = 0,             = e⋅E ,
                               dt                 dt
где e – заряд протона. Из этих уравнений следует, что px = p0 , p y = e ⋅ E ⋅ t ,
или
                             m0 ⋅ υ x                   m0 ⋅ υ y
                                           = p0 ,                    = e⋅ E ⋅t .     (6.14)
                                        2                         2
                                  ⎛υ ⎞                      ⎛υ ⎞
                            1− ⎜ ⎟                      1− ⎜ ⎟
                                  ⎝c⎠                       ⎝c⎠
      Разделив второе уравнение (6.14) на первое, получим:
                                              v      e⋅ E ⋅t
                                   tg α = y =                .
                                              vx       P0
      В отличие от нерелятивистского случая здесь υ x уменьшается со
временем. В этом можно убедиться, если возвести оба уравнения (6.14) во
вторую степень, а затем сложить левые и правые части:
                         m02 ⋅ (υ x2 + υ y2 )
                                              = p02 + ( e ⋅ E ⋅ t ) .
                                                                   2

                                   υ  2
                             1− 2
                                    c
      Поскольку υ x + υ y = υ , последнее уравнение можно преобразовать к
                    2   2       2


виду:
                                                           −1
                     ⎛υ ⎞ ⎛                             ⎞
                                 2
                                        m0 ⋅ c 2
                     ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ 1 +                    2 ⎟
                                                             .
                     ⎝c⎠ ⎝         p02 + ( e ⋅ E ⋅ t ) ⎠⎟
Подставив это выражение в первое из уравнений (6.14), найдём:
                                        c
                    υx =                2                   2
                                                               ,
                              ⎛ m ⋅c ⎞ ⎛ e⋅ E ⋅t ⎞
                          1+ ⎜ 0 ⎟ + ⎜                    ⎟
                              ⎝ p0 ⎠ ⎝ p0 ⎠
то есть действительно, скорость υ x уменьшается при увеличении t .
                                            21