Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 25 стр.

точки О выбранной системы отсчёта равна моменту действующей силы
относительно той же точки О:
                                                  �
                                                dL �
                                                    =M.                                  (7.11)
                                                dt
        Соотношение (7.11) называется уравнением моментов.
        Уравнение движения материальной точки при равномерном переме-
                                �
щении
 � � �    со  скоростью        υ  по окружности радиусом r , можно записать в виде:
                      � �                    �      � �
L = [ r , p ] = m ⋅ [ r ,υ ] . Поскольку υ = [ω , r ] уравнение движения материаль-
                                              �         � � �           � � �       � � �
ной точки преобразуется к виду: L = m ⋅ ⎡⎣ r , [ω , r ]⎤⎦ = m ⋅ ω ⋅ ( r , r ) − m ⋅ r ⋅ ( r , ω ) .
                         � �
Учитывая, что ( r , ω ) = 0 , выражение момента импульса можно преобра-
зовать:                           �      � � �                 �      �
                                  L = m ⋅ω ⋅ (r ,r ) = m ⋅ r2 ⋅ω = J ⋅ω ,                (7.12)
где величина J = m ⋅ r 2 называется моментом инерции материальной точки
относительно точки О, r – расстояние между материальной точкой и цен-
тром вращения О. Размерность момента инерции: [ J ] = [ m ] ⋅ [ r ] = кг ⋅ м 2 .
                                                                   2


      Если радиус окружности, по которой движется материальная точка,
не меняется, то J = m ⋅ r 2 = const .
      Подстановка соотношения
                            �         (7.12) в уравнение моментов (7.11) даёт:
                                        �        �
                         dL d ( J ⋅ ω )         dω �
                              =            =J⋅     =M.                     (7.13)
                          dt       dt           dt
         �
       dω �
Здесь      = ε – угловое ускорение. С учётом последнего обозначения
        dt
уравнение (7.13) преобразуется к виду: �
                                           �
                                        J ⋅ε = M .                         (7.14)
                                �
                               M
      Таким образом: J = � , то есть момент инерции является мерой
                                     ε
инертности материальной точки при вращательном   �   �движении.
       Опыт показывает, что две разные силы F1 и F2 вызывают одинаковое
                                                       �    �
угловое ускорение, если равны их моменты, то есть M 1 = M 2 .
       Две материальные точки с разными массами m1 и m2 эквивалентны в
                                                                �
том смысле, что приобретают одинаковое угловое ускорение ε при одина-
ковом вращающем моменте сил, если равны их моменты инерции, то есть
J1 = J 2 или m1 ⋅ r12 = m2 ⋅ r22 .
       Замечание. Поскольку уравнения движения в релятивистской меха-
                       �
                     dp �
нике имеет вид:          = F , а направления ньютоновского и релятивистского
                      dt
                                                              �
импульсов совпадают с направлением вектора скорости υ , понятия мо-
                                                25