Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 26 стр.

                  �                        �
мента импульса L и момента силы M имеют смысл и релятивистском слу-
чае,
  � а, следовательно, справедливо        и уравнением моментов:
       �      �                       �
dL                  � � �         m ⋅υ
    = M , где L = [ r , p ] , p = 0      .
 dt                                  υ 2
                                  1− 2
                                     c
         7.3. Уравнение моментов системы n материальных точек
        Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек, в кото-
рой на каждую i-ю материальную точку действуют внутренние силы
 � n �                        �
 f i = ∑ f ik и внешние силы, Fi – сумма внешних сил, действующих на i-ю
      k =1
      i≠k

материальную точку. Уравнение �моментов для i-й материальной точки:
                                             dLi   �     �
                                                 = M i + M 0i .                                       (7.15)
       �     �                               dt
Здесь M i и M 0i момент соответственно внешних и внутренних сил, дейст-
вующих на i-ю материальную точку. Динамику системы из n материаль-
ных точек описывает система n уравнений (7.15). Почленное суммирова-
ние левых и правых�частей уравнений данной системы даёт:
                  n
                     dLi     n  �       n   �          d n �          n �

               ∑i =1 dt
                         = ∑
                           i =1
                                M i + ∑
                                      i =1
                                           M  0i , или
                                                       dt
                                                          ∑
                                                          i =1
                                                               Li = ∑
                                                                    i =1
                                                                         Mi ,

так как сумма всех внутренних сил, действующих в системе, с учётом
                                �         �
                                        (
третьего закона Ньютона f ik = − f ki , равна нулю:  )
                               �     �     �      �     �          �     �
                                    (          ) (              ) (                  )
                    n    n

                  ∑∑
                   i =1 k =1
                               fik = f12 + f 21 + f13 + f 31 + ... f1k + f k1 = 0 .

Суммарный момент внутренних сил равен:
  n     n
             � �           1 n n � �                        � �            1 n n � � �
∑∑
 k =1 i =1
           [ ri , f ik ] =
                           2
                             ⋅ ∑∑
                               k =1 i =1
                                         ([ ri , f ik ] + [ rk , f ki ]) =
                                                                           2
                                                                             ⋅ ∑∑ [(ri − rk ), fik ] . В данном
                                                                               k =1 i =1
                                   �                                                � �
выражении силы f ik коллинеарны векторам ri − rk . Поэтому каждое сла-
гаемое суммы моментов сил равно нулю, а, следовательно, и вся сумма
равна нулю.
                                                    � n �
           Векторная величина L = ∑ Li называется моментом импульса сис-
                                              i =1
                                            �   n �
темы материальных точек. Векторная величина M = ∑ M i есть вектор-
                                                                                   i =1
ная сумма моментов всех внешних сил, приложенных ко всем материаль-
ным точкам системы. Таким образом, уравнение моментов системы мате-

                                                      26