Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Уравнение (7.19) справедливо при условии, что радиус-вектор точки С оп-
ределяется уравнением:
11 2 2
12
,
C
mr mr
r
mm
⋅
+⋅
=
+
G
G
G
(7.20)
то есть точка
С расположена на прямой линии, соединяющей точки 1 и 2 и
делит этот эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные массам то-
чек
1
m и
2
m . Точка С, радиус-вектор которой удовлетворяет уравнению
(7.20), называется центром масс
или центром инерции системы матери-
альных точек.
Эти рассуждения можно распространить на систему, содер-
жащую произвольное количество
n материальных точек. Для этого необ-
ходимо найти центр масс системы из первых двух и третьей точки систе-
мы, и так далее. Тогда радиус-вектор центра масс системы, содержащей
n
материальных точек можно выразить следующим уравнением:
11 2 2 1
1
12
1
... ... 1
... ...
n
ii
n
ii nn i
C ii
n
i
in
i
i
mr
mr mr mr m r
rmr
mm m m m
m
=
=
=
⋅
⋅+ ⋅++ ⋅++ ⋅
===⋅⋅
+++++
∑
∑
∑
G
GG G G
GG
, (7.21)
где
1
n
i
i
mm
=
=
∑
– масса системы материальных точек.
Из уравнения (7.21) следуют выражения координат центра масс сис-
темы:
1
1
1
1
;
1
;
1
.
n
Cii
i
n
Cii
i
n
Cii
i
x
mx
m
ymy
m
zmz
m
=
=
=
⎧
=
⋅⋅
⎪
⎪
⎪
=
⋅⋅
⎨
⎪
⎪
=
⋅⋅
⎪
⎩
∑
∑
∑
(7.22)
Скорость движения центра масс можно выразить как производную
по времени от радиус-вектора центра масс системы
n материальных точек:
11
11
nn
Ci
Ciii
ii
dr dr
mm
dt m dt m
υ
υ
==
==⋅ ⋅=⋅ ⋅
∑∑
GG
GG
. (7.23)
Ускорение центра масс системы
n материальных точек определяется
как первая производная скорости движения центра масс по времени:
11
11
nn
Ci
Ciii
ii
dd
wmmw
dt m dt m
υυ
==
==⋅ ⋅=⋅ ⋅
∑∑
GG
GG
. (7.24)
Используя соотношение (7.24) можно выразить уравнение движения
центра масс системы материальных точек: 
Уравнение (7.19) справедливо при условии, что радиус-вектор точки С оп-
ределяется уравнением:
                                               �       �
                                    � m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2
                                    rC =                  ,                    (7.20)
                                              m1 + m2
то есть точка С расположена на прямой линии, соединяющей точки 1 и 2 и
делит этот эту прямую на отрезки, обратно пропорциональные массам то-
чек m1 и m2 . Точка С, радиус-вектор которой удовлетворяет уравнению
(7.20), называется центром масс или центром инерции системы матери-
альных точек. Эти рассуждения можно распространить на систему, содер-
жащую произвольное количество n материальных точек. Для этого необ-
ходимо найти центр масс системы из первых двух и третьей точки систе-
мы, и так далее. Тогда радиус-вектор центра масс системы, содержащей n
материальных точек можно выразить следующим уравнением:
                                                       n
                                                             �
         �        �               �               � ∑ mi ⋅ ri
 � m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2 + ... + mi ⋅ ri + ... + mn ⋅ rn i =1       1 n       �
rC =                                                = n        = ⋅ ∑ mi ⋅ ri , (7.21)
           m1 + m2 + ... + mi + ... + mn                        m i =1
                                                i =1
                                                        ∑ mi
           n
где m = ∑ mi – масса системы материальных точек.
          i =1
        Из уравнения (7.21) следуют выражения координат центра масс сис-
темы:
                             ⎧      1 n
                             ⎪ xC = m ⋅ ∑ mi ⋅ xi ;
                             ⎪          i =1

                             ⎪       1 n
                               y
                             ⎨ C  =   ⋅ ∑ mi ⋅ yi ;               (7.22)
                             ⎪      m    i =1
                             ⎪      1 n
                               z
                             ⎪ C  =   ⋅ ∑ mi ⋅ zi .
                             ⎩      m   i =1

      Скорость движения центра масс можно выразить как производную
по времени от радиус-вектора центра масс системы n материальных точек:
                          �                   �
                    �   drC 1 n             dri 1 n         �
                   υC =     = ⋅ ∑ mi ⋅           = ⋅ ∑ mi ⋅ υi .  (7.23)
                         dt m i =1          dt m i =1
      Ускорение центра масс системы n материальных точек определяется
как первая производная скорости движения центра масс по времени:
                          �                    �
                   �    dυC 1 n             dυi 1 n          �
                  wC =      = ⋅ ∑ mi ⋅            = ⋅ ∑ mi ⋅ wi . (7.24)
                         dt    m i =1         dt m i =1
      Используя соотношение (7.24) можно выразить уравнение движения
центра масс системы материальных точек:


                                         28

Страницы