Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
риальных точек подобно уравнению моментов (7.11) одной точки системы,
но имеет другое физическое содержание.
7.4. Центр инерции (центр масс) системы материальных точек.
Теорема о движении центра масс
Движение системы, состоящей из
n
материальных точек, можно
описать одним уравнением, формально подобным уравнению движения
одной материальной точки в том случае, если использовать понятие центра
инерции или центра масс системы материальных точек.
Для того, чтобы ввести понятие центра масс, рассмотрим систему,
состоящую из двух материальных точек массами
1
m и
2
m (рис. 7.4).
Уравнения движения мате-
риальных точек этой системы
имеют вид:
11 1 12
22 2 21
;
;
mw F f
mw F f
⎧
⋅=+
⎪
⎨
⋅=+
⎪
⎩
G
G
G
G
G
G
(7.16)
где
1
w
G
и
2
w
G
– ускорения матери-
альных точек,
1
F
G
и
2
F
G
– внешние
силы, действующие на матери-
альные точки
1 и 2 соответствен-
но,
12
f
G
– сила, действующая на
Рис. 7.4 материальную точку 1 со стороны
точки
2,
21
f
G
– сила, действующая на точку 2 со стороны точки 1. Суммиро-
вание левых и правых частей уравнений системы (7.16) даёт:
11 2 2 1 2
mw mw F F⋅+ ⋅=+
G
G
G
G
, (7.17)
поскольку
12 21
f=−
GG
. Учитывая, что
2
1
1
2
dr
w
dt
=
G
G
и
2
2
2
2
dr
w
dt
=
G
G
, уравнение (7.17)
можно преобразовать к виду:
22
12
1212
22
dr dr
mm FFF
dt dt
⋅+⋅=+=
GG
GG G
, или
()
2
11 2 2
2
d
mr mr F
dt
⋅
+⋅=
G
G
G
. (7.18)
Это уравнение, очевидно, совпало бы с уравнением движения одной
воображаемой материальной точки
С (рис. 7.4), если бы подобрать её мас-
су так, чтобы выполнялось условие
12
mm m
=
+ и положение в пространст-
ве, которое удовлетворяло бы условию:
11 2 2C
mr m r m r
⋅
=⋅+⋅
G
GG
. Уравнение
движения точки
С можно записать, исходя из аналогии с уравнением
(7.18):
()
22
22
C
C
ddr
mr m F
dt dt
⋅
=⋅ =
G
G
G
. (7.19) 
риальных точек подобно уравнению моментов (7.11) одной точки системы,
но имеет другое физическое содержание.

       7.4. Центр инерции (центр масс) системы материальных точек.
                     Теорема о движении центра масс

      Движение системы, состоящей из n материальных точек, можно
описать одним уравнением, формально подобным уравнению движения
одной материальной точки в том случае, если использовать понятие центра
инерции или центра масс системы материальных точек.
      Для того, чтобы ввести понятие центра масс, рассмотрим систему,
состоящую из двух материальных точек массами m1 и m2 (рис. 7.4).
                                                           Уравнения движения мате-
                                                  риальных точек этой системы
                                                  имеют вид:
                                                                      �    � �
                                                              ⎧⎪m1 ⋅ w1 = F1 + f12 ;
                                                               ⎨      �     � �       (7.16)
                                                               ⎪⎩m2 ⋅ w2 = F2 + f 21;
                                                         �       �
                                                  где w1 и w2 – ускорения матери-
                                                                         �     �
                                                  альных точек, F1 и F2 – внешние
                                                  силы, действующие на матери-
                                                  альные � точки 1 и 2 соответствен-
                                                  но, f12 – сила, действующая на
           �     Рис. 7.4                        материальную точку 1 со стороны
точки 2, f 21 – сила, действующая на точку 2 со стороны точки 1. Суммиро-
вание левых и правых частей уравнений системы       � � (7.16) даёт:
                                  �           �
                             m1 ⋅ w1 + m2 ⋅ w2 = F1 + F2 ,                            (7.17)
               �   �                                  �                �
                                             � d 2 r1       � d 2 r2
поскольку f12 = − f 21 . Учитывая, что w1 = 2 и w2 = 2 , уравнение (7.17)
                                                  dt               dt
можно преобразовать к виду:
            �          �
        d 2 r1     d 2 r2 � �         �           d2        �          �     �
    m1 ⋅ 2 + m2 ⋅ 2 = F1 + F2 = F , или 2 ( m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2 ) = F .                 (7.18)
         dt        dt                            dt
      Это уравнение, очевидно, совпало бы с уравнением движения одной
воображаемой материальной точки С (рис. 7.4), если бы подобрать её мас-
су так, чтобы выполнялось условие m = m1 + m2 и положение в пространст-
                                                         �          �        �
ве, которое удовлетворяло бы условию: m ⋅ rC = m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2 . Уравнение
движения точки С можно записать, исходя из аналогии с уравнением
(7.18):
                                                       �
                             d2         �          d 2 rC �
                                  ( m ⋅ rC ) = m ⋅ 2 = F .                            (7.19)
                             dt 2                   dt
                                            27

Страницы