Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
Для того, чтобы материальную точку разогнать из состояния покоя
(
)
0
υ
= до скорости ,
υ
необходимо совершить работу:
2
00
2
k
m
A
Amd E
υυ
υ
υυ
⋅
=∂= ⋅⋅ = =
∫∫
. (8.12)
Величина
2
2
k
m
E
υ
⋅
=
называется кинетической энергией материаль-
ной точки. Если скорость материальной точки под действием силы
F
G
из-
меняется от значения
1
υ
до значения
2
υ
, работа силы определяется выра-
жением:
22
11
22
21
21
22
kk k
mm
A
Amd EE E
υυ
υυ
υυ
υυ
⋅⋅
∂= ⋅⋅ = − = − =Δ
∫∫
. (8.13)
Из уравнения (8.13) следует, что работа силы
F
G
равна изменению
кинетической энергии материальной точки. Кинетическая энергия может
быть выражена также через массу и импульс материальной точки:
222 2
22 2
k
mm p
E
mm
υυ
⋅⋅
== =
⋅
⋅
, (8.14)
где
p
pm m
υ
υ
==⋅=⋅
G
G
– импульс материальной точки.
Рассмотрим систему n материальных точек. Обозначим массу i-й
материальной точки символом
i
m
, а скорость –
i
υ
G
. В соответствии с урав-
нениями (8.13) и (8.14) сила
i
F
G
, приложенная к i-й материальной точке, со-
вершает работу
i
A
, равную приращению кинетической энергии матери-
альной точки:
2
2
ii
ki i
m
EA
υ
⋅
== . (8.15)
Очевидно, что кинетическая энергия системы n материальных точек
равна сумме работ торможения всех материальных точек, входящих в со-
став системы, до остановки, то есть:
2
11 1
2
nn n
ii
ikik
ii i
m
A
AEE
υ
== =
⋅
== = =
∑∑ ∑
. (8.16)
Если скорость i-й материальной точки изменяется от
1i
υ
до
2i
υ
, рабо-
та, совершаемая силой
i
F
G
, равна приращению кинетической энергии мате-
риальной точки и определяется выражением:
22
21
22
ii ii
ik
mm
A
E
υυ
⋅⋅
=−=Δ. (8.17) 
      Для того, чтобы материальную точку разогнать из состояния покоя
(υ = 0 ) до скорости υ , необходимо совершить работу:
                                      υ       υ
                                                              m ⋅υ 2
                                 A = ∫ ∂A = ∫ m ⋅ υ ⋅ dυ =           = Ek .                 (8.12)
                                      0       0
                                                                2
                        m ⋅υ      2
       Величина Ek =               называется кинетической энергией материаль-
                          2                                                                    �
ной точки. Если скорость материальной точки под действием силы F из-
меняется от значения υ1 до значения υ2 , работа силы определяется выра-
жением:
                     υ2      υ2
                                                   m ⋅ υ22 m ⋅ υ12
                 A = ∫ ∂A = ∫ m ⋅ υ ⋅ dυ =                  −           = Ek 2 − Ek 1 = ΔEk . (8.13)
                     υ1      υ1                       2            2
                                                                           �
      Из уравнения (8.13) следует, что работа силы F равна изменению
кинетической энергии материальной точки. Кинетическая энергия может
быть выражена также через массу и импульс материальной точки:
                                      m ⋅υ 2 m2 ⋅υ 2               p2
                            Ek =                =            =         ,                      (8.14)
                                        2           2⋅m           2⋅m
         �      �
где p = p = m ⋅ υ = m ⋅ υ – импульс материальной точки.
      Рассмотрим систему n материальных точек. Обозначим массу i-й
                                                                     �
материальной точки символом mi , а скорость – υi . В соответствии с урав-
                                     �
нениями (8.13) и (8.14) сила Fi , приложенная к i-й материальной точке, со-
вершает работу Ai , равную приращению кинетической энергии матери-
альной точки:
                                                      mi ⋅ υi2
                                       Eki = Ai =                .                            (8.15)
                                                          2
      Очевидно, что кинетическая энергия системы n материальных точек
равна сумме работ торможения всех материальных точек, входящих в со-
став системы, до остановки, то есть:
                                  n           n
                                                 mi ⋅ υi2       n
                         A = ∑ Ai = ∑                      = ∑ Eki = Ek .                     (8.16)
                                i =1        i =1    2         i =1
      Если скорость i-й материальной точки изменяется от υ1i до υ2i , рабо-
                           �
та, совершаемая силой Fi , равна приращению кинетической энергии мате-
риальной точки и определяется выражением:
                                       mi ⋅ υ22i mi ⋅ υ12i
                             Ai =                 −           = ΔEk .                         (8.17)
                                          2             2




                                                  36

Страницы