Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 38 стр.

          2
                      � �          2
                                              � �
виде:    ∫(
          1
                            ) ∫(
                      F , dr =
                                   1
                                                    )
                                              F , dr , то есть эти интегралы не зависят от пути
        ( C 1)                   ( C 2)

интегрирования.
     Поскольку работа определяется выражением:
        2  � �         2 �   �
A1→2 = ∫ ( F , dr ) = ∫ F ⋅ dr ⋅ cos α ,
           1                            1
то изменение направления движения вдоль траекто-
рии на противоположное приводит к изменению
знака работы ( cos α меняет знак). Это означает:

                  2
                       � �                2
                                                � �                 1
                                                                         �   �
                1
                  ∫(         ) ∫(
                       F , dr =
                                         1
                                                        )
                                                F , dr = −
                                                                  2
                                                                    ∫ ( F , dr )
              ( C 1)                   ( C 2)                   ( C 2)



или
                                                                                   Рис. 9.1
                  2
                        �
                        �              �
                                        1
                                                �
               ∫ ( F , dr ) + ∫ ( F , dr ) ≡ 0.                                               (9.1)
                1                     2
              ( C 1)                ( C 2)

      Соотношение (9.1) указывает на то, что при перемещении матери-
альной точки вдоль замкнутой кривой С (например, по пути 1 → C1 → 2 →
→ C 2 → 1 ), работа консервативной силы тождественно равна нулю, то есть
    � �
  (           )
∮С F , dr ≡ 0 .                                                    (9.2)
      Интеграл (9.2) называется циркуляцией вектора. Исходя из выраже-
ния (9.2) можно дать количественную
                                �    формулировку поля консервативных
                           � F вдоль замкнутого контура C тождест-
сил. Если циркуляция вектора
венно равна нулю, то сила F называется консервативной или потенциаль-
ной.
      Выражение (9.2) указывает на то, что если тело находится в потенци-
альном силовом поле, то работа сил поля не зависит от формы траектории,
а является функцией только начального и конечного положения (коорди-
наты) тела.
                                2
                                  � �
                                                                (
      Таким образом, интеграл ∫ F , dr не зависит от пути интегрирова-       )
                                                            1
ния, а определяется только исходным и конечным положением тела в по-
тенциальном силовом поле. Это означает, что работа консервативной силы
является однозначной функцией координат, то есть существует такая од-


                                                                        38