Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 40 стр.

значно. Процедура придания потенциальной энергии однозначности назы-
вается нормировкой потенциальной энергии.
      Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия. Каждое из
взаимодействующих тел создаёт поле. Взаимодействие происходит по-
средством полей.
      Если потенциальное силовое поле определено, то есть известны си-
лы, действующие на тело в каждой точке пространства, можно найти ска-
лярное поле потенциала, то есть потенциальную энергию тела в каждой
точке пространства. Из выражения (9.7) следует, что полный дифференци-
ал dU можно представить в виде суммы частных дифференциалов по пе-
ременным x, y, z :
                                            ⎛ ∂U        ∂U        ∂U      ⎞
                  dA = − dU ( x, y, z ) = − ⎜    ⋅ dx +    ⋅ dy +    ⋅ dz ⎟ .   (9.10)
                                            ⎝ ∂x        ∂y        ∂z      ⎠
      С другой стороны по определению:
                                           � �
                                         (
                                 dA = F ⋅ dr .  )                               (9.11)
      Выражая силу и радиус-вектор через проекции          �     на оси координат:
                                �        �         �
                               F = Fx ⋅ i + Fy ⋅ j + Fz ⋅ k                    (9.11а)
     �      �        �        �
и dr = dx ⋅ i + dy ⋅ j + dz ⋅ k , величину dA уравнения (9.11) можно преоб-
разовать к виду:
                              dA = Fx ⋅ dx + Fy ⋅ dy + Fz ⋅ dz .                (9.12)
      Сравнивая выражения (9.10) и (9.12) можно выразить проекции сил
на оси координат через потенциальную энергию:
                                ∂U               ∂U             ∂U
                        Fx = −       ; Fy = −         ; Fz = −      .           (9.13)
                                 ∂x              ∂y              ∂z
      Подстановка
             �       соотношений (9.13) в уравнение (9.11.а) позволяет вы-
разить силу F через потенциальную энергию:
                            �      ⎛ ∂U � ∂U � ∂U � ⎞
                           F = −⎜         ⋅i +       ⋅j+      ⋅k ⎟.             (9.14)
                                   ⎝  ∂x        ∂y        ∂ z    ⎠
      Вектор в скобках правой части выражения (9.14) называется гради-
ентом скалярной функции U ( x, y, z ) , то есть:
                       ∂U � ∂U � ∂U �
                           ⋅i +        ⋅j+       ⋅ k = gradU ( x, y, z ) .      (9.15)
                       ∂x         ∂y         ∂z
      С учётом соотношения (9.15) уравнение (9.14) можно записать в виде:
                                F = − grad U ( x, y , z ).                      (9.16)
      С помощью выражения (9.16) можно определить силу в любой точке
поля, если известно скалярное поле потенциала.



                                         40