Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 39 стр.

                                             �
нозначная функция координат U (r ) , полный дифференциал которой равен
                                            � �
подынтегральному выражению F , dr :     (       )
                                                          �
                                           ∂A = − dU (r ) .                   (9.3)
                          �
Функцию U = U (r ) называют потенциальной энергией. Для установления
физического смысла потенциальной энергии и знака минус в выражении
(9.3), рассмотрим перемещение тела массой m под действием поля потен-
циальных сил из бесконечности (за пределами поля) в данную точку поля
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) . При этом поле совершает работу A1 , не зависящую от траек-
тории движения тела. На такую же величину возрастает энергия тела мас-
сой m , то есть
                                        A1 = −U1 ( x1 , y1 , z1 ) .           (9.4)
         Если тело той же массы m перемещается в точку M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , поле
совершает работу A2 , не зависящую от формы траектории движения тела.
При этом энергия тела возрастает:
                                       A2 = −U 2 ( x2 , y2 , z2 ) .           (9.5)
         Знак «минус» в выражениях (9.4) и (9.5) указывает на то, что, если
поле совершает работу над телом, его энергия увеличивается. Если тело
совершает работу против сил поля, его энергия уменьшается. Если под
действием сил поля тело перемещается из точки M 1 в точку M 2 , то неза-
висимо от траектории движения тела совершается работа:
                              AM 1→M 2 = U1 − U 2 = −(U 2 − U1 ) = −ΔU ,      (9.6)
то есть
                                       dA = − dU ( x, y, z ) .                (9.7)
         Интегрирование выражения (9.7) позволяет выразить работу, совер-
шаемую при перемещении из точки M 1 в точку M 2 :
                                2
                     A1→2 = − ∫ dU = U1 ( x1 , y1 , z1 ) − U 2 ( x2 , y2 , z2 ) .   (9.8)
                                1
Таким образом, работа, совершаемая полем консервативных сил, равна из-
менению потенциальной энергии. Величина потенциальной энергии в дан-
ной точке поля может быть определена с точностью до постоянной интег-
рирования, то есть:
                        U ( x, y, z ) = − ∫ dA + const .         (9.9)
Поэтому практический смысл имеет не значение потенциальной энергии в
данной точке поля, а разность потенциальных энергий двух точек про-
странства.
      Пользуясь произволом в выборе потенциальной энергии, можно счи-
тать её равной любому заданному значению в некоторой точке простран-
ства. Тогда во всех остальных точках её значение будет фиксировано одно-

                                               39