Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 41 стр.

      Поскольку потенциальная энергия является однозначной функцией
координат, в пространстве, в котором действует потенциальное силовое
поле, всегда можно подобрать такое геометрическое место точек, в кото-
рых потенциальная энергия имеет одинаковое значение. Поверхность, во
всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение,
называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной по-
верхностью. Каждому значению потенциальной энергии соответствует
своя эквипотенциальная поверхность. Эквипотенциальные поверхности
                                                                �   не
пересекаются. Из формулы (9.14) следует, что проекция вектора F на лю-
бое направление, касательное к эквипотенциальной
                                           �      поверхности в данной
точке равна нулю. Это значит, что вектор F направлен нормально эквипо-
тенциальной поверхности (рис. 9.2). Следова-
тельно, градиент потенциальной энергии есть
вектор, направленный по нормали к эквипо-
тенциальной поверхности в сторону возрас-
тания потенциальной энергии U . На рис. 9. 2
изображено семейство эквипотенциальных
поверхностей, причём U1 < U 2 < U 3 < U 4 , а
также градиент потенциальной энергии       �
grad U и соответствующий вектор силы F в
точке A потенциального поля.
      Модуль градиента потенциальной энер-              Рис. 9.2
гии можно выразить в виде:
                              �    U − U 1 ΔU
                      grad U (r ) = 2       =    ,              (9.17)
                                    r2 − r1   Δr
или при бесконечно малом расстоянии между эквипотенциальными по-
верхностями соотношение (9.17) можно записать в виде:
                                 �     dU
                        grad U (r ) =      ,                   (9.17а)
                                        dr         �
где dU dr называется производной по направлению r .
     Подстановка соотношения (9.17а) в выражение (9.16) с использова-
                         �
нием единичного вектора n , направленного нормально к эквипотенциаль-
ной поверхности в сторону увеличения потенциала, позволяет получить
выражение, связывающее силу и потенциальную энергию, в виде:
                    �            �       dU �
                   F = − grad U (r ) = −     ⋅ n.               (9.18)
                                         dr
     Рассмотрим примеры вычисления потенциальной энергии и её нор-
мировки.
     а) Потенциальная энергия в поле сил тяготения.



                                    41