Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

42
Рассмотрим поле тяготения, которое будем считать однородным, то
есть полагаем gconst= (рис. 9.3). Сила тяжести частицы массой m в поле
силы тяготения определяется выражением: Pmg
=
⋅
G
G
. Под действием этой
силы тело перемещается в силовом
поле с эквипотенциальной поверхно-
сти с потенциальной энергией
2
U
(точка
2
M
) на эквипотенциальную по-
верхность с потенциальной энергий
1
U (точка
1
M
). Представляя силу P
G
в
виде векторной суммы составляющих
xy z
PmgPi PjPk=⋅=⋅+ ⋅+⋅
G
G
GG
G
, а также
учитывая, что в рассматриваемом
случае (рис. 9.3) Рис. 9.3
0, 0,
xyz
PPPmg===−⋅
G
работу перемещения частицы между рассмотренными эквипотенциальны-
ми поверхностями можно выразить уравнением:
dA dU m g dz m g dh=− =− ⋅ ⋅ =− ⋅ ⋅ .
Следовательно, изменение потенциальной энергии равно:
dU mgdz mgdh
=
⋅⋅ = ⋅⋅ .
Тогда изменение потенциальной энергии при переходе из точки
2
M
в точку
1
M
равно:
2
21
1
()UmgdhmghhΔ= ⋅⋅ =⋅⋅ −
∫
. (9.19)
Рассмотрим способы нормировки потенциальной энергии. Возмож-
ны два варианта нормировки. В первом варианте нормировки можно при-
нять потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли. В этом
случае в уравнении (9.19) при
1
0h
потенциальная энергия
1
0U = . Тогда
на произвольной высоте h над поверхностью Земли потенциальная энер-
гия определяется выражением:
Umgh
=
⋅⋅. (9.20)
При использовании другого способа нормировки полагают потенци-
альную энергию равной нулю в бесконечности, то есть
2
0U = при
2
h →∞.
Тогда Umgh=− ⋅ ⋅ , где h – высота тела над поверхностью Земли.
б) Потенциальная энергия упругой деформации.
Под действием внешней силы
F
G
тело деформируется до тех пор, по-
ка силы упругости не уравновесят внешнюю деформирующую силу, то
есть
УПР
FF=−
GG
. Согласно закону Гука
УПР
Fkx
=
−⋅, где х – величина упру-
      Рассмотрим поле тяготения, которое будем считать однородным, то
есть полагаем g = const (рис. 9.3). Сила тяжести частицы массой m в поле
                                                      �        �
силы тяготения определяется выражением: P = m ⋅ g . Под действием этой
силы тело перемещается в силовом
поле с эквипотенциальной поверхно-
сти с потенциальной энергией U 2
(точка M 2 ) на эквипотенциальную по-
верхность с потенциальной энергий          �
U1 (точка M 1 ). Представляя силу P в
виде векторной суммы составляющих  �
 �      �        �        �
P = m ⋅ g = Px ⋅ i + Py ⋅ j + Pz ⋅ k , а также
учитывая, что в рассматриваемом
случае (рис. 9.3)                                                Рис. 9.3
                                                           �
                               Px = 0, Py = 0, Pz = − m ⋅ g
работу перемещения частицы между рассмотренными эквипотенциальны-
ми поверхностями можно выразить уравнением:
                          dA = − dU = − m ⋅ g ⋅ dz = − m ⋅ g ⋅ dh .
      Следовательно, изменение потенциальной энергии равно:
                               dU = m ⋅ g ⋅ dz = m ⋅ g ⋅ dh .
      Тогда изменение потенциальной энергии при переходе из точки M 2
в точку M 1 равно:
                               2
                        ΔU = ∫ m ⋅ g ⋅ dh = m ⋅ g ⋅ (h2 − h1 ) .         (9.19)
                               1
      Рассмотрим способы нормировки потенциальной энергии. Возмож-
ны два варианта нормировки. В первом варианте нормировки можно при-
нять потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли. В этом
случае в уравнении (9.19) при h1 = 0 потенциальная энергия U1 = 0 . Тогда
на произвольной высоте h над поверхностью Земли потенциальная энер-
гия определяется выражением:
                                   U = m⋅ g ⋅h.                          (9.20)
      При использовании другого способа нормировки полагают потенци-
альную энергию равной нулю в бесконечности, то есть U 2 = 0 при h2 → ∞ .
Тогда U = − m ⋅ g ⋅ h , где h – высота тела над поверхностью Земли.
      б) Потенциальная энергия упругой   � деформации.
      Под действием внешней силы F тело деформируется до тех пор, по-
ка силы
      � упругости
           �            не уравновесят внешнюю деформирующую силу, то
есть F = − FУПР . Согласно закону Гука FУПР = − k ⋅ x , где х – величина упру-


                                         42

Страницы