Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 43 стр.

гой деформации, k — коэффициент упругости, зависящий от свойств тела.
Тогда работу упругой силы можно выразить уравнением:
                   dA = −dU ( x) = FУПР ⋅ dx = − k ⋅ x ⋅ dx .
      Тогда приращение потенциальной энергии равно: dU ( x) = k ⋅ x ⋅ dx ,
                        x0                        x0
                                                 k ⋅ x02
следовательно: ΔU = ∫ dU = U ( x0 ) − U (0) = ∫ k ⋅ x ⋅ dx =
                    0                  0
                                                   2
     Положим, что при x = 0 U (0) = 0 . Следовательно, значение потен-
циальной энергии в точке с координатой x0 равно:
                                     k ⋅ x02
                                     U ( x0 ) =
                                             .                         (9.21)
                                       2
      Таким образом, полная механическая энергия E тела или системы
тел равна сумме кинетической энергии (энергии движения Ek ) и потенци-
альной энергии (энергии взаимодействия U ): E = Ek + U ( x, y, z ) . Кинети-
ческая и потенциальная энергия являются однозначными функциями со-
стояния системы тел. Поэтому полная энергия E однозначно определяет
состояние системы тел или тела, то есть является функцией координат и
скорости. Это даёт основание изменение полной энергии обозначать сим-
                                               �
волом полного дифференциала: dE = dEk + dU ( r ) .

                     § 10. Законы сохранения в механике

                                   10.1. Введение

        С помощью уравнения движения
                                     �
                                  d 2r � n �
                               m ⋅ 2 = F = ∑ Fi                       (10.1)
                                  dt        i =1
можно решить любую задачу механики. Соотношение (10.1) является
дифференциальным уравнением второго порядка относительно координат
  �
( r ), а если сила зависит также и от скорости и времени, то математическое
решение задачи механики может оказаться очень сложным. Кроме того,
для составления уравнения движения необходимо иметь детальную ин-
формацию о характере изучаемых процессов, что позволит установить за-
кон изменения действующих сил. Поэтому при анализе процессов, проте-
кающих в физических системах, существенным представляется не только
изучение изменения физических величин, но и выявление того общего, что
не изменяется. Законы сохранения отвечают на вопрос о том, что в проте-
кающих физических процессах, описываемых уравнениями движения, ос-
таётся неизменным.
        Законы сохранения импульса, момента импульса и механической
энергии позволяют:

                                           43