Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

47
Из теоремы сложения скоростей следует:
11
22
,
,
.
uu
uu
uu
υ
υ
υ
⎧
′
=
−
⎪
⎪
′
=
−
⎨
⎪
′
=−
⎪
⎩
G
G
G
G
GG
GG
(10.6)
Подстановка выражений (10.6) в выражение закона сохранения им-
пульса (10.5) даёт:
(
)
(
)
(
)
11 2 2
mu mu mu
υ
υυ
⋅−+⋅−=⋅−
GGG
GGG
, или
[
]
(
)
11 2 2 1 2
mu mu m m mu m
υ
υ
⋅+ ⋅ − + ⋅=⋅−⋅
G
G
GG G
. (10.7)
Сравнивая выражение в квадратных скобках левой части и первое
слагаемое правой части соотношения (10.7) с уравнением (10.4), можно
получить:
(
)
12
mm m
υ
υ
+⋅=⋅
GG
, или
12
mm m
=
+ . (10.8)
Таким образом, масса составной частицы равна арифметической
сумме масс составляющих её исходных частиц. Этот вывод можно обоб-
щить на систему, содержащую произвольное количество тел, то есть масса
системы материальных тел равна арифметической сумме масс тел, вхо-
дящих в состав системы:
1
n
i
i
mm
=
=
∑
. Это утверждение отражает закон со-
хранения массы, указывающий на то, что масса изолированной системы
тел есть величина постоянная.
10.4. Закон сохранения момента импульса
Анизотропия физического пространства, то есть симметрия относи-
тельно поворотов обусловливает закон сохранения момента импульса. Для
обоснования закона сохранения момента импульса рассмотрим систему n
взаимодействующих между собой
нерелятивистских материальных точек
(тел). Уравнение моментов для такой системы материальных точек можно
записать в виде:
dL
M
dt
=
G
G
, где
1
n
i
i
L
L
=
=
∑
G
G
– момент импульса системы мате-
риальных точек,
1
n
i
i
M
M
=
=
∑
G
G
– момент всех внешних сил, приложенных ко
всем материальным точкам, входящим в состав системы. Если система
изолирована, то есть
1
0
n
i
i
MM
=
==
∑
GG
, то уравнение моментов преобразуется
к виду:
0
dL
dt
=
G
. Интегрирование полученного уравнения даёт: 
      Из теоремы сложения скоростей следует:
                                     ⎧u� ′ = u� − υ�,
                                      ⎪ 1      1
                                      ⎪� ′ � �
                                     ⎨u2 = u2 − υ ,                          (10.6)
                                     ⎪� � �
                                     ⎪⎩u ′ = u − υ .
      Подстановка выражений (10.6) в выражение закона сохранения им-
                            � �              � �              � �
пульса (10.5) даёт: m1 ⋅ ( u1 − υ ) + m2 ⋅ ( u2 − υ ) = m ⋅ ( u − υ ) , или
                          �         �                    �       �        �
                   [ m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 ] − ( m1 + m2 ) ⋅ υ = m ⋅ u − m ⋅ υ . (10.7)
      Сравнивая выражение в квадратных скобках левой части и первое
слагаемое правой части соотношения (10.7) с уравнением (10.4), можно
                        �       �
получить: ( m1 + m2 ) ⋅ υ = m ⋅ υ , или
                                      m = m1 + m2 .                          (10.8)
      Таким образом, масса составной частицы равна арифметической
сумме масс составляющих её исходных частиц. Этот вывод можно обоб-
щить на систему, содержащую произвольное количество тел, то есть масса
системы материальных тел равна арифметической сумме масс тел, вхо-
                                    n
дящих в состав системы: m = ∑ mi . Это утверждение отражает закон со-
                                   i =1
хранения массы, указывающий на то, что масса изолированной системы
тел есть величина постоянная.

                  10.4. Закон сохранения момента импульса

       Анизотропия физического пространства, то есть симметрия относи-
тельно поворотов обусловливает закон сохранения момента импульса. Для
обоснования закона сохранения момента импульса рассмотрим систему n
взаимодействующих между собой нерелятивистских материальных точек
(тел). Уравнение моментов
                   �        для такой системы материальных точек можно
                 dL �          � n �
записать в виде:     = M , где L = ∑ Li – момент импульса системы мате-
                 dt                i =1
                  �    n  �
риальных точек, M = ∑ M i – момент всех внешних сил, приложенных ко
                        i =1
всем материальным точкам, входящим в состав системы. Если система
                       �    n  �
изолирована, то есть M = ∑ M i = 0 , то уравнение моментов преобразуется
                          i =1
         �
        dL
к виду:    = 0 . Интегрирование полученного уравнения даёт:
        dt


                                          47

Страницы