Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 49 стр.

                                            �                �
     Следует отметить, что условие ΔL = 0 (то есть L = const ) не всегда
              �
означает, что ω = const . Если в �процессе движения J ≠ const (то есть мо-
                                          �            �
мент инерции изменяется), то ΔL = J 2 ⋅ ω 2 − J1 ⋅ ω 1 = 0 , следовательно:
                                     �           �
                                J1 ⋅ ω 1 = J 2 ⋅ ω 2 .                   (10.13)

               10.5. Закон сохранения механической энергии
      Пусть материальная точка
                             �     массой m движется под действием произ-
                                          �
вольной переменной силы F . Если υ – скорость материальной точки, то
уравнениё её движения можно записать в виде:
                                           �
                                        dυ �
                                    m⋅       =F.                   (10.14)
                                         dt
                                                                   �
Умножим обе части уравнения (10.14) скалярно на вектор скорости υ :
                                     �           � �
                                 ⎛ dυ � ⎞
                              m⋅⎜
                                 ⎝ dt ⎠
                                                (
                                        ,υ ⎟ = F ,υ ,    )         (10.15)

но скалярное произведение правой части уравнения представляет собой
мощность ( N ) :
                                 � �           ∂A
                                 (     )
                                F ,υ = N =
                                                ∂t
                                                   .
                             �               �          �
                 d � � ⎛ dυ � ⎞ ⎛ � dυ ⎞             ⎛ dυ � ⎞
Учитывая, что (υ ,υ ) = ⎜      ,υ ⎟ + ⎜ υ ,    ⎟ = 2⋅⎜    ,υ ⎟ ,
                 dt      ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠               ⎝ dt ⎠
или
   �
⎛ dυ � ⎞ 1 d � �       d ⎛υ2 ⎞
⎜    ,υ ⎟ = ⋅ (υ ,υ ) = ⎜ ⎟ ,
⎝ dt ⎠ 2 dt            dt ⎝ 2 ⎠
                                            d ⎛ m ⋅υ 2 ⎞     ∂A
Выражение (10.15) можно записать в виде: ⎜             ⎟=N =    , или
                                            dt ⎝ 2 ⎠         ∂t
 d          ∂A
    ( Ek ) = ,                                                       (10.16)
 dt         ∂t
            m ⋅υ 2
где Ek =           – кинетическая энергия материальной точки. Таким обра-
               2
зом, из соотношения (10.16) следует, что dEk = ∂A , или на конечном участ-
ке пути:
                         2                      2

                         ∫ dE
                         1
                             k   = Ek 2 − Ek1 = ∫ ∂A .
                                                1
                                                                        (10.17)

     Выражение (10.17) отражает содержание закона сохранения энергии
системы, согласно которому изменение энергии системы материальных
точек равно работе внешних сил, совершаемой над системой. Если сис-


                                           49