Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 55 стр.

      Решение. За время соуда-
рения третьего и второго шари-
ков перемещением второго ша-
рика можно пренебречь. Поэто-
му величину упругой силы пру-
жины можно считать бесконечно                                 Рис. 10.5
малой, следовательно, удар является абсолютно упругим. Таким образом, в
момент столкновения второго и третьего шариков выполняется закон со-
хранения механической энергии
                                   m ⋅ υ02 m ⋅ u22 m ⋅ u32
                                           =         +         ,
                                     2          2           2
а также закон сохранения импульса:
                                    m ⋅ υ0 = m ⋅ u2 + m ⋅ u3 .
       �       �
Здесь u2 и u3 скорости соответственно второго и третьего шариков после
столкновения. Представим полученную систему уравнений в следующем
виде:
                                ⎪⎧(υ0 − u3 ) ⋅ (υ0 + u3 ) = u2 ;
                                                               2

                                 ⎨
                                 ⎪⎩υ0 − u3 = u2 .
Разделив первое уравнение на второе, получим:
                                         ⎧υ0 + u3 = u2 ;
                                         ⎨
                                         ⎩υ0 − u3 = u2 .
Суммируя правые и левые части данной системы, получим u2 = υ0 . Вычи-
тая из первого уравнения второе, находим: u3 = 0 . Таким образом, в ре-
зультате соударения второй шарик приобретёт кинетическую энергию,
          m ⋅ υ02
равную            . Пружина начнёт сжиматься, при этом скорост первого ша-
            2
рика будет возрастать, а второго – уменьшаться. Расстояние между шари-
ками будет сокращаться до тех пор, пока их скорости не окажутся одина-
ковыми. В отсутствие внешних сил импульс системы не изменится, то
есть: m ⋅ υ0 = 2 ⋅ m ⋅ u , где u – скорости шариков в момент их максимального
сближения. Шарики взаимодействуют друг с другом за счёт силы упруго-
сти пружины, работа которой Ay идёт на изменение кинетической энергии
шариков. Эту работу удобно определить в системе отсчёта, связанной с
одним из шариков, например с первым шариком. При этом второй шарик
сместится относительно первого на расстояние x1 , а сила упругости, про-
тивоположная направлению смещения, совершит работу
                                                  k ⋅ x12
                                          Ay = −          .
                                                    2

                                     55