Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 57 стр.

  � �            dA      dU                       �
(     )
  F ,υ = N =
                  dt
                      =−
                          dt �
                              , полагая силу F потенциальной, то есть удовле-

творяющей уравнению F = − gradU (r ) , где U = U (r ) − потенциальная энер-
гия частицы.
       Дифференцирование левой части уравнения (11.2) даёт:
                            ⎡                                           ⎤
⎛                   ⎞       ⎢                                           ⎥
⎜               � ⎟         ⎢           �                               ⎥
⎜υ�, d m0 ⋅ υ ⎟ = m0 ⋅ ⎢υ�, 1 ⋅        υ       d ⎛υ ⎞ 2
                                                                1
                                              ⋅ ⎜ 2 ⎟+                  ⎥ =
⎜ dt           υ 2 ⎟
                            ⎢   2           3
                                               dt   c
                                                  ⎝ ⎠ ⎛ υ 2 ⎞2 ⎥
                                                                      1

⎜         1− 2 ⎟                  ⎛ υ 2 ⎞2
⎝              c ⎠          ⎢       1 −
                                  ⎜ c2 ⎟                    ⎜1 − c 2 ⎟ ⎥
                           ⎣⎢     ⎝       ⎠                 ⎝        ⎠ ⎦⎥
                                                        �
       m0         ⎡ 1 2 d ⎛ υ 2 ⎞ ⎛ υ 2 ⎞ ⎛ � dυ ⎞ ⎤
=               ⋅ ⋅ υ ⋅ ⎜ 2 ⎟ + ⎜1 − 2 ⎟ ⋅ ⎜υ ,
              3 ⎢                                         ⎟⎥ =
          2 2 ⎣2          dt ⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎦
   ⎛ υ ⎞
   ⎜1 − c 2 ⎟
   ⎝        ⎠
                                 ⎛              ⎞
                                 ⎜          2 ⎟
  1 m0 ⋅ c   2
                     d ⎛υ ⎞ d m ⋅c ⎟
                        2
= ⋅                ⋅ ⎜ 2 ⎟= ⎜ 0                   .
  2             3
            2 2 dt ⎝ c ⎠      dt ⎜       υ   2 ⎟
     ⎛ υ ⎞                       ⎜ 1− 2 ⎟
     ⎜1 − c 2 ⎟                  ⎝        c ⎠
     ⎝        ⎠
       С учётом сделанных преобразований уравнение (11.2) можно запи-
сать в виде:
                     ⎡       ⎤                            ⎡          ⎤
                     ⎢       ⎥                            ⎢          ⎥
                  d ⎢ m0c 2 ⎥        dU (r )              ⎢   m0c 2 ⎥
                               =−              , или d                 = − dU (r ). (11.3)
                  dt ⎢    υ2 ⎥        dt                  ⎢       υ2 ⎥
                     ⎢ 1− 2 ⎥                             ⎢ 1− 2 ⎥
                     ⎣    c ⎦                             ⎣        c ⎦
       Перенося все члены данного уравнения в левую часть, получим:
                                   ⎛                        ⎞
                                   ⎜         2              ⎟
                                      m    c
                                d⎜       0
                                                   + U (r ) ⎟ = 0.                  (11.4)
                                   ⎜        υ  2            ⎟
                                   ⎜ 1− 2                   ⎟
                                   ⎝        c               ⎠
       Интегрирование уравнения (11.4) даёт:
                                   m0c 2
                                              + U (r ) = const.                     (11.5)
                                       υ2
                                  1−
                                       c2




                                            57