Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

58
Уравнение (11.5) отражает закон сохранения энергии в релятивист-
ской механике. Здесь величину
2
0
2
2
1
mc
E
c
υ
=
−
называют полной релятивист-
ской энергией (или просто релятивистской энергией). Потенциальная энер-
гия ()UUr= имеет тот же смысл, что и в классической механике (Ньюто-
на). Таким образом, релятивистская энергия частицы определяется выра-
жением:
2
0
2
2
1
mc
E
c
υ
=
−
=
2
mc⋅ , где
0
2
2
1
m
m
c
υ
=
−
– релятивистская масса час-
тицы.
При 0
υ
= энергия
2
00
E
Emc==⋅ называется энергией покоя.
Таким образом, релятивистская энергия частицы представляет собой
сумму энергии покоя и энергии движения (кинетической энергии). Полу-
чим выражение кинетической энергии релятивистской частицы, исходя из
уравнения:
0 k
E
EE=+:
2
22
0
000
22
22
1
1.
11
k
mc
EEE mcmc
cc
υυ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=− = − ⋅= ⋅⋅ −
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎝⎠
(11.6)
Формула (11.6) выражает кинетическую энергию релятивистской частицы.
При малых скоростях
(
)
1c
υ
уравнение (11.6) преобразуется в выраже-
ние кинетической энергии классической механики. Действительно, по-
скольку при
(
)
1c
υ
можно записать:
1
224
2
224
2
2
113
1 1 ...
28
1
ccc
c
υυυ
υ
−
⎛⎞
=− ≈+⋅+⋅+
⎜⎟
⎝⎠
−
,
то ограничиваясь первыми двумя членами ряда, кинетическую энергию в
нерелятивистском случае можно выразить следующим соотношением:
22
2
0
0
2
1
11 .
22
k
m
Emc
c
υ
υ
⎛⎞
⋅
≈⋅⋅+⋅−=
⎜⎟
⎝⎠
(11.7)
Очевидно, что соотношение Эйнштейна между массой и энергией
(
)
2
mc=⋅ является универсальным:
2
E
mc
=
⋅ и
2
00
E
mc
=
⋅ , то есть в двух
последних соотношениях характер связи массы и энергии одинаков. Вид
выражения (11.5) закона сохранения механической энергии в релятивист-
     Уравнение (11.5) отражает закон сохранения энергии в релятивист-
                                   m0c 2
ской механике. Здесь величину E =        называют полной релятивист-
                                             υ2
                                        1−
                                          c2
ской энергией (или просто релятивистской энергией). Потенциальная энер-
гия U = U (r ) имеет тот же смысл, что и в классической механике (Ньюто-
на). Таким образом, релятивистская энергия частицы определяется выра-
                m0c 2                     m0
жением: E =           = m ⋅ c 2 , где m =      – релятивистская масса час-
                    υ2                           υ2
               1−                           1−
                    c2                           c2
тицы.
     При υ = 0 энергия E = E0 = m0 ⋅ c 2 называется энергией покоя.
     Таким образом, релятивистская энергия частицы представляет собой
сумму энергии покоя и энергии движения (кинетической энергии). Полу-
чим выражение кинетической энергии релятивистской частицы, исходя из
уравнения: E = E0 + Ek :
                                          ⎛           ⎞
                                          ⎜           ⎟
              m0c 2                    2 ⎜   1
Ek = E − E0 =         − m0 ⋅ c = m0 ⋅ c ⋅
                              2
                                                   − 1⎟ .        (11.6)
                 υ  2                     ⎜    υ 2    ⎟
              1− 2                        ⎜ 1− 2      ⎟
                 c                        ⎝    c      ⎠
Формула (11.6) выражает кинетическую энергию релятивистской частицы.
При малых скоростях (υ c � 1) уравнение (11.6) преобразуется в выраже-
ние кинетической энергии классической механики. Действительно, по-
скольку при (υ c � 1) можно записать:
                        1
                    −
   1         ⎛ υ2 ⎞ 2       1 υ2 3 υ4
          = ⎜1 − 2 ⎟ ≈ 1 + ⋅ 2 + ⋅ 4 + ... ,
      υ2 ⎝ c ⎠              2 c    8 c
  1− 2
      c
то ограничиваясь первыми двумя членами ряда, кинетическую энергию в
нерелятивистском случае можно выразить следующим соотношением:
            2 ⎛    1 υ2    ⎞ m0 ⋅ υ 2
Ek ≈ m0 ⋅ c ⋅ ⎜1 + ⋅ 2 − 1⎟ =         .                                    (11.7)
               ⎝   2  c    ⎠    2
       Очевидно, что соотношение Эйнштейна между массой и энергией
( E = m ⋅ c2 ) является универсальным: E = m ⋅ c2 и E0 = m0 ⋅ c2 , то есть в двух
последних соотношениях характер связи массы и энергии одинаков. Вид
выражения (11.5) закона сохранения механической энергии в релятивист-


                                       58

Страницы