Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 63 стр.

                                              г) всякая сила, действующая на абсо- �
                                              лютно твёрдое тело, например, сила F1
                                              на рис. 12.6, может быть заменена си-
                                              лой, приложенной к любой точке тела (в
                                              том числе и к центру приведения сил) и
                                                                       �   n �
                                              парой    сил.   Здесь   FR = ∑ Fi    –
                                                                             i =1
                                        равнодействующая сил, имеющих центр
                                        приведения O1 .
                                                        �
                                        Пусть сила F1 , линия действия которой
                     Рис. 12.6         не проходит через точку O1 приложена к
                                       точке
                                         �      A� (рис. 12.6).
       Приложим к точке O1 силу F2 = − F1 . Это механически ничего не ме-
няет. Для данной ситуации уравнение
                                  �           моментов можно записать в виде:
                                dL �         n   �    �
                                    = M = ∑ Mi + M p ,                     (12.8)
                                dt         i =1
     �     � � �
где M p = [r , Fi ] , r – радиус-вектор точки A относительно точки O1 .

         12.4. Момент импульса и момент инерции абсолютно твёрдого тела

     По определению момент импульса равен:
�    n� n �            �      n
                                      ��         n
                                                         � � �
L = ∑ Li =∑ [ri , mi ⋅ υi ] = ∑ mi ⋅ [ri ,υi ] = ∑ mi ⋅ [ri [ω , ri ]]. Двойное векторное
    i =1     i =1           i =1                 i =1
произведение в данном соотношении можно преобразовать с учётом сле-
                    � � �           � � � � � �
дующего правила: ⎡⎣ a ,[b , c ]⎤⎦ = b ( a , c ) − c ( a , b ) :
                            � � n                n
                                                        � � �
                            Li = ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri − ∑ mi ⋅ ri ⋅ (ω , ri ) .
                                              2
                                                                                           (12.9)
                                     i =1               i =1
Из уравнения (12.9) следует, что вектор момента импульса твёрдого тела в
общем случае не совпадает по направлению с вектором угловой скорости    �
 �                                                                             �
ω в отличие от вектора момента импульса материальной точки L = J ⋅ ω .
Если тело закреплено в двух точках, то есть вращается вокруг неподвиж-
                n
                       � � �
ной оси, то ∑ mi ⋅ ri ⋅ (ω , ri ) = 0 , поскольку равно нулю скалярное произве-
       � � i =1                           � �
дение (ω , ri ) = 0 , так как векторы ω и ri взаимно перпендикулярны. Таким
образом, все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных вектору
                              � � n             � n         �             n
угловой скорости. Тогда L = ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri =ω ⋅ ∑ J i = J ⋅ ω , здесь J = ∑ J i –
                                              2

                                       i =1                    i =1                 i =1
момент инерции тела.
                                                63