Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 65 стр.

мента инерции и называются произведениями инерции или центробежны-
ми моментами инерции. Эта упорядоченная совокупность девяти множи-
                                   �
телей при всех проекциях вектора ω представляет собой тензор момента
инерции точек тела с массами mi и записывается в виде матрицы:
                             ⎛ J xx J xy J xz ⎞
                             ⎜                ⎟
                         ΔJ = J yx J yy J yz ⎟ .
                             ⎜                                   (12.12)
                             ⎜                ⎟
                             ⎜ J zx J zy J zz ⎟
                             ⎝                ⎠
Здесь величины J ij называются компонентами тензора инерции. Компо-
ненты тензора инерции зависят от системы отсчёта и ориентации тела
(от выбора направления осей координат). Таким образом, тензор инерции
является тензором второго ранга, причём симметричный, так как J xy = J yx ,
J xz = J zx , J yz = J zy . Следовательно, инертные свойства абсолютно твёрдо-
го тела характеризуются тензором инерции, имеющим шесть независимых
компонент.
       Задача о движении тела, закреплённого в одной точке, оказывается
достаточно сложной. Однако решение этой задачи можно упростить, если
использовать следующие соображения. Можно показать, что для любого
тела (то есть для тела произвольной формы) и любой точки закрепления O
имеются по крайней мере три взаимно перпендикулярных направления,
проходящих через эту        � точку закрепления по которым направление вектора
момента импульса L совпадает с направлением вектора угловой скорости
 �
ω . Такие направления называются главными осями вращения или главны-
ми осями инерции. Если выбрать систему координат, жёстко связанную с
телом, так, что её начало отсчёта совпадает с центром закрепления, а оси
совпадают с главными осями инерции, то в этой системе все центробеж-
ные моменты инерции равны нулю, а диагональные компоненты тензора
инерции (осевые моменты инерции) имеют определённое значение. В этом
случае тензор инерции имеет следующий вид:
                                       ⎛                ⎞
                                       ⎜ J xx 0    0 ⎟
                                       ⎜                ⎟
                                  ΔJ = ⎜ 0    J yy 0 ⎟ .
                                       ⎜                ⎟
                                       ⎜ 0    0    J zz ⎟
                                       ⎝                ⎠
Таким образом, тензор инерции приведён к диагональному виду. Осевые
моменты инерции в этом случае называются главными моментами инер-
ции. Если главные оси инерции проходят через центр масс, то оси называ-
ются главными центральными осями инерции, а тензор инерции в этом
случае называют центральным. Следовательно, нахождение главных осей

                                     65