Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 64 стр.

      Проекции выражения (12.9) на оси прямоугольной декартовой сис-
темы координат имеют вид:
                    ⎧              n                 n
                                                                    � �
                    ⎪ Lx = ω x ⋅ ∑ mi ⋅ ri − ∑ mi ⋅ xi ⋅ (ω , ri );
                                              2


                    ⎪            i =1              i =1

                    ⎪               n                 n
                                                                     � �
                         = ω y ∑ i
                               ⋅         ⋅       − ∑     mi ⋅ yi ⋅ (ω , ri );
                                               2
                      L
                    ⎨ y                m   r i                                 (12.10)
                    ⎪             i =1              i =1
                    ⎪              n                 n
                                                                    � �
                         = ω z ∑ i
                               ⋅         ⋅       − ∑     mi ⋅ zi ⋅ (ω , ri ).
                                              2
                      L
                    ⎪ z                m   ri
                    ⎩            i =1              i =1
                                                 � �
Раскрывая скалярное произведение (ω , ri ) = xi ⋅ ω x + yi ⋅ ω y + zi ⋅ ω z , уравне-
ния системы (12.10) можно преобразовать к следующему виду:
                                   n                         n                                                n
                   Ly = −ω x ⋅ ∑ mi ⋅ yi ⋅ xi +ω y ⋅ ∑ mi ⋅ (ri − y ) − ω z ⋅ ∑ mi ⋅ yi ⋅ zi ;
                                                                                2     2
                                                                                      i
                                  i =1                      i =1                                             i =1
                                  n                                 n                                        n
                    Lx = ω x ⋅ ∑ mi ⋅ (ri 2 − xi2 ) −ω y ⋅ ∑ mi ⋅ xi ⋅ yi − ω z ⋅ ∑ mi ⋅ xi ⋅ zi ;
                               i =1                                i =1                                     i =1


                                   n                         n                                        n
                   Lz = −ω x ⋅ ∑ mi ⋅ zi ⋅ xi −ω y ⋅ ∑ mi ⋅ zi ⋅ yi + ω z ⋅ ∑ mi ⋅ (ri 2 − zi2 );
                                  i =1                      i =1                                     i =1
или
                   ⎧ Lx = J xx ⋅ ω x + J xy ⋅ ω y + J xz ⋅ ω z ;
                   ⎪
                   ⎨ Ly = J yx ⋅ ω x + J yy ⋅ ω y + J yz ⋅ ω z ;                                                    (12.11)
                   ⎪
                   ⎩ Lz = J zx ⋅ ω x + J zy ⋅ ω y + J zz ⋅ ω z ;
где коэффициенты при ω x , ω y , ω z описываются выражениями:
        n                                          n                                           n
J xx = ∑ mi ⋅ (ri − x ); J yy = ∑ mi ⋅ (ri − y ); J zz = ∑ mi ⋅ (ri 2 − zi2 );
                        2     2
                              i
                                                            2             2
                                                                          i
       i =1                                       i =1                                        i =1
              n                                    n                                      n
J xy = −∑ mi ⋅ xi ⋅ yi ;                 J yx = −∑ mi ⋅ yi ⋅ xi ;             J xz = −∑ mi ⋅ xi ⋅ zi ;
            i =1                                  i =1                                 i =1
              n                                   n                                     n
J zx = −∑ mi ⋅ zi ⋅ xi ;               J yz = −∑ mi ⋅ yi ⋅ zi ;               J zy = − ∑ mi ⋅ zi ⋅ yi .
            i =1                                 i =1                                  i =1
Из выражений (12.11) следует, что каждая проекция момента импульса на
прямоугольные оси координат линейно зависит от всех проекций вектора
 �
ω , и сложным образом зависит от распределения масс в твёрдом теле.
Коэффициенты J xx , J yy , J zz , а также J xy , J yx , J zx , J xz , J yz , J zy
имеют размерность момента инерции. Коэффициенты с двумя одинаковы-
ми индексами представляют собой моменты инерции твёрдого тела отно-
сительно соответствующих осей и называются осевыми моментами инер-
ции. Коэффициенты с разными индексами также имеют размерность мо-

                                                                 64