Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

67
ному i-му направлению от центра масс тела откладывать отрезки
i
A
, опре-
деляемые равенством
1
ii
J=A , где
i
J – моменты инерции тела относи-
тельно i-й оси, то геометрическое место точек, соответствующих концам
этих отрезков будет поверхность эллипсоида инерции (рис. 12.8), оси ко-
торого и являются главными центральными осями инерции. Уравнение
данного эллипсоида можно записать в виде:
222
222
1,
xyz
ABC
+
+=
где
1; 1; 1.
x
xyyzz
A
JB JC J===
Тогда уравнение эллипсоида инерции можно преобразовать к виду:
222
1.
xx yy zz
Jx Jy Jz⋅+ ⋅+ ⋅= (12.13)
Таким образом, задача упрощается и сводится к описанию движения эл-
липсоида инерции (жёстко связанного с телом). Следовательно, для описа-
ния движения твёрдого тела особое значение приобретает задача вычисле-
ния осевых моментов инерции.
12.5. Вычисление моментов инерции твёрдого тела относительно оси
Рассмотрим твёрдое тело произвольной формы, вращающееся вокруг
оси
OX (рис. 12.9). Осевой момент инерции тела определяется формулой:
22 2
11
()
nn
x
xiii ii
ii
JmrxmR
==
=⋅−=⋅
∑∑
, где
222
ii i
R
rx
=
− – квадрат расстояния i-й
точки тела и массой
i
m , то есть
1
n
x
xxi
i
JJ
=
=
∑
, (12.14)
Рис. 12.8 
                                   Рис. 12.8
ному i-му направлению от центра масс тела откладывать отрезки � i , опре-
деляемые равенством � i = 1 J i , где J i – моменты инерции тела относи-
тельно i-й оси, то геометрическое место точек, соответствующих концам
этих отрезков будет поверхность эллипсоида инерции (рис. 12.8), оси ко-
торого и являются главными центральными осями инерции. Уравнение
данного эллипсоида можно записать в виде:
                              x2 y 2 z 2
                                +    +     = 1,
                              A2 B 2 C 2
где               A = 1 J xx ; B = 1 J yy ; C = 1 J zz .
Тогда уравнение эллипсоида инерции можно преобразовать к виду:
                       J xx ⋅ x 2 + J yy ⋅ y 2 + J zz ⋅ z 2 = 1. (12.13)
Таким образом, задача упрощается и сводится к описанию движения эл-
липсоида инерции (жёстко связанного с телом). Следовательно, для описа-
ния движения твёрдого тела особое значение приобретает задача вычисле-
ния осевых моментов инерции.

       12.5. Вычисление моментов инерции твёрдого тела относительно оси

     Рассмотрим твёрдое тело произвольной формы, вращающееся вокруг
оси OX (рис. 12.9). Осевой момент инерции тела определяется формулой:
        n                n
J xx = ∑ mi ⋅(ri 2 − xi2 ) = ∑ mi ⋅ Ri2 , где Ri2 = ri 2 − xi2 – квадрат расстояния i-й
       i =1             i =1
точки тела и массой mi , то есть

        n
J xx = ∑ J xi ,                                                               (12.14)
       i =1




                                          67

Страницы