Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

69
Поскольку все точки слоя удалены от оси вращения
x
на одинаковые
расстояния для вычисления момента инерции можно применить формулу
(12.15):
2
00
4
2
2
1
2,
42
JR
JdJ hrdr
R
hmR
πρ
πρ
==⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅
∫∫
где
2
mRh
ρπ
=⋅⋅ ⋅
.
Рассмотренной методикой
можно воспользоваться и для
расчёта момента инерции поло-
го однородного цилиндра высо-
той h и радиусами
1
R
и
2
R
, из-
менив пределы интегрирования
(от 0 до
R
) на интервал
1
R
…
2
R
(рис. 12.11):
2
1
2
0
2
R
J
R
JdJ hrdr
πρ
=
=⋅⋅⋅⋅⋅=
∫∫
Рис. 12.11
()
44 22
21 1 2
11
2() ,
42
hRR mRR
πρ
=⋅⋅⋅⋅⋅ − = ⋅ ⋅ +
где
(
)
22
21
mRRh
ρπ
=⋅⋅ − ⋅ – масса цилиндра.
Б. Момент инерции однородного тела вращения относительно оси
симметрии. Для вычисления момента инерции тела вращения удобно вос-
пользоваться формулой расчёта момента инерции однородного диска мас-
сой m радиусом
R
:
2
1
2
JmR=⋅⋅ . С этой целью следует мысленно разде-
лить тело вращения на множество бесконечно тонких дисков радиусами
()
f
h толщиной dx dh= (рис. 12.12). Момент инер-ции каждого такого
диска относительно оси
x
равен
2
1
()
2
dJ dm f h=⋅ ⋅ .
Тогда момент инерции всего тела вращения получается интегрированием
выражения:
Рис. 12.10 
Поскольку все точки слоя удалены от оси вращения x на одинаковые
расстояния для вычисления момента инерции можно применить формулу
(12.15):
     J       R
J = ∫ dJ = ∫ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ h ⋅ r 2 ⋅ dr =
     0       0

                 R4 1
= 2 ⋅π ⋅ ρ ⋅ h ⋅   = ⋅ m ⋅ R2 ,
                 4 2
где m = ρ ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ h .



                                                           Рис. 12.10
                                                              Рассмотренной методикой
                                                        можно воспользоваться и для
                                                        расчёта момента инерции поло-
                                                        го однородного цилиндра высо-
                                                        той h и радиусами R1 и R2 , из-
                                                        менив пределы интегрирования
                                                        (от 0 до R ) на интервал R1 R2
                                                        (рис. 12.11):
                                                             J       R2

                                                        J = ∫ dJ = ∫ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ h ⋅ r 2 ⋅ dr =
                                                             0       R1

                                                        1                 1
                 Рис. 12.11            = 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ h ⋅ ⋅ ( R24 − R14 ) = ⋅ m ⋅ ( R12 + R22 ) ,
                                                        4                 2
где m = ρ ⋅ π ⋅ ( R2 − R1 ) ⋅ h – масса цилиндра.
                   2     2


       Б. Момент инерции однородного тела вращения относительно оси
симметрии. Для вычисления момента инерции тела вращения удобно вос-
пользоваться формулой расчёта момента инерции однородного диска мас-
                        1
сой m радиусом R : J = ⋅ m ⋅ R 2 . С этой целью следует мысленно разде-
                        2
лить тело вращения на множество бесконечно тонких дисков радиусами
 f (h) толщиной dx = dh (рис. 12.12). Момент инер-ции каждого такого
                                     1
диска относительно оси x равен dJ = ⋅ dm ⋅ f 2 (h) .
                                     2
Тогда момент инерции всего тела вращения получается интегрированием
выражения:




                                               69

Страницы