Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

71
422 4
0
(2 )
R
R
Rhdhh dh
πρ
=⋅⋅ −⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
∫
52
82
,
15 5
R
mR
πρ
⋅
⋅⋅ =⋅⋅ (12.18)
где
3
4
3
mV R
ρρπ
=⋅=⋅⋅⋅ – масса шара.
12.6. Теорема Штейнера – Гюйгенса
Выше рассмотрены задачи вычисления моментов инерции тел отно-
сительно осей вращения, проходящих через центр масс тел, обладающих
симметрией. В рассмотренных случаях ось вращения являлась одной из
главных центральных осей инерции. Вычисление момента инерции тела
относительно оси, не проходящей через центр масс, как правило, оказыва-
ется сложной задачей. Однако решение подобных
задач существенно
упрощает применение теоремы Штейнера – Гюйгенса, согласно которой
момент инерции тела относительно произвольной оси J равен сумме мо-
мента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей че-
рез центр масс
0
J
и произведения массы данного тела m на квадрат рас-
стояния a между осями, то есть
2
0
JJ ma
=
+⋅.
Для доказательства данной теоремы решим задачу определения мо-
мента инерции тела произвольной формы относительно произвольной оси.
Начало отсчёта системы ∑ совместим с центром масс C тела (рис. 12.15).
Ось CZ системы отсчё-
та
∑ параллельна оси
''OZ системы отсчёта
'∑ .
Требуется вычис-
лить момент инерции
тела относительно оси
''
OZ. Оси CX и ''OX
систем отсчёта соответ-
ственно
∑ и '∑ совпа-
дают. Обозначим сим-
волом
J момент инер- Рис. 12.15
ции тела относительно оси ''OZ, а символом
0
J – момент инерции тела
относительно оси
CZ . Координаты произвольной i-й точки тела массой
i
mΔ
в системе отсчёта ∑ и '∑ связаны соотношениями:
;
;
.
ii
ii
ii
x
xa
yy
zz
⎧
′
=
+
⎪
⎪
′
=
⎨
⎪
′
=
⎪
⎩
(12.19)
Тогда расстояния
i-й точки тела до осей соответственно CZ и ''OZ выра-
жаются соотношениями: 
          R
                                                         8               2
= π ⋅ ρ ⋅ ∫ ( R 4 − 2 ⋅ R 2 ⋅ h 2 ⋅ dh + h 4 ) ⋅ dh =      ⋅ π ⋅ ρ ⋅ R5 = ⋅ m ⋅ R 2 ,   (12.18)
          0
                                                        15               5
                     4
где m = ρ ⋅ V =        ⋅ ρ ⋅ π ⋅ R 3 – масса шара.
                     3
                            12.6. Теорема Штейнера – Гюйгенса
         Выше рассмотрены задачи вычисления моментов инерции тел отно-
сительно осей вращения, проходящих через центр масс тел, обладающих
симметрией. В рассмотренных случаях ось вращения являлась одной из
главных центральных осей инерции. Вычисление момента инерции тела
относительно оси, не проходящей через центр масс, как правило, оказыва-
ется сложной задачей. Однако решение подобных задач существенно
упрощает применение теоремы Штейнера – Гюйгенса, согласно которой
момент инерции тела относительно произвольной оси J равен сумме мо-
мента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей че-
рез центр масс J 0 и произведения массы данного тела m на квадрат рас-
стояния a между осями, то есть J = J 0 + m ⋅ a 2 .
         Для доказательства данной теоремы решим задачу определения мо-
мента инерции тела произвольной формы относительно произвольной оси.
Начало отсчёта системы ∑ совместим с центром масс C тела (рис. 12.15).
Ось CZ системы отсчё-
та ∑ параллельна оси
O ' Z ' системы отсчёта
∑ ' . Требуется вычис-
лить момент инерции
тела относительно оси
O ' Z ' . Оси CX и O ' X '
систем отсчёта соответ-
ственно ∑ и ∑ ' совпа-
дают. Обозначим сим-
волом J момент инер-                         Рис. 12.15
ции тела относительно оси O ' Z ' , а символом J 0 – момент инерции тела
относительно оси CZ . Координаты произвольной i-й точки тела массой
Δmi в системе отсчёта ∑ и ∑ ' связаны соотношениями:
                               ⎧ x ′ = x + a;
                               ⎪ i       i
                               ⎪ ′
                               ⎨ yi = yi ;                        (12.19)
                               ⎪
                               ⎪⎩ zi′ = zi .
Тогда расстояния i-й точки тела до осей соответственно CZ и O ' Z ' выра-
жаются соотношениями:
                                                    71

Страницы