Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

70
24
11
() () ,
22
dJ dVfh fhdh
ρπρ
=⋅⋅ ⋅ =⋅⋅⋅ ⋅
где
2
()dV f h dh
π
=⋅ ⋅ :
4
0
1
() .
2
H
Jfhdh
πρ
=⋅⋅⋅ ⋅
∫
(12.6)
Это выражение можно использовать
для вычисления момента инерции
любого однородного тела,
симметричного относительно оси
вращения.
Рис. 12.12
В. Момент инерции однородного конуса может быть рассчитан с по-
мощью уравнения (12.16), где ()
f
h определяет-
ся из следующего соотношения (рис. 12.13):
()
R
fh
H
h
= , то есть
()
R
fh h
H
=
⋅ . Подстановка
полученного соотношения в формулу (12.16)
даёт:
4
44
4
00
() ()
22
HH
R
J fhdh f hdh
H
πρ πρ
⋅⋅⋅
=
⋅⋅= ⋅⋅=
⋅
∫∫
4
2
13
,
2510
R
H
mR
πρ
⋅⋅
=⋅⋅=⋅⋅ (12.17)
Рис. 12.13 где
2
1
.
3
VRH
π
⋅⋅ ⋅
Г. Момент инерции однородного
шара. Момент инерции шара
относите-льно оси вращения,
проходящей через его центр, можно
вычислить, исполь-зуя формулу
(12.16). При этом удобно найти
момент инерции половины ша-ра, а
затем удвоить полученный резу-льтат.
Из рис. 12.14 очевидно, что
222
()
f
hRh=−. Подстановка получен-
ного соотношения в формулу (12.16)
даёт:
4
0
2()
2
H
Jfhdh
πρ
⋅
=⋅ ⋅ ⋅ =
∫
Рис. 12.14 
    1                    1
dJ = ⋅ ρ ⋅ dV ⋅ f 2 (h) = ⋅ π ⋅ ρ ⋅ f 4 (h) ⋅ dh,
     2                   2
где dV = π ⋅ f (h) ⋅ dh :
                2

                      H
       1
    J = ⋅ π ⋅ ρ ⋅ ∫ f 4 (h) ⋅ dh. (12.6)
       2          0
Это выражение можно использовать
для вычисления момента инерции
любого        однородного          тела,
симметричного относительно оси
вращения.
                                                                   Рис. 12.12
        В. Момент инерции однородного конуса может быть рассчитан с по-
                           мощью уравнения (12.16), где f ( h) определяет-
                           ся из следующего соотношения (рис. 12.13):
                            R f ( h)                         R
                              =      , то есть f (h) = h ⋅ . Подстановка
                            H     h                          H
                           полученного соотношения в формулу (12.16)
                           даёт:
                               π ⋅ρ H 4            π ⋅ ρ ⋅ R4 H 4
                                 2 ∫0               2 ⋅ H 4 ∫0
                           J=       ⋅ f (h) ⋅ dh =           ⋅ f (h) ⋅ dh =

                                         π ⋅ ρ ⋅ R4        1 3
                                     =                ⋅ H ⋅ = ⋅ m ⋅ R2 ,         (12.17)
                                             2             5 10
                                        1
          Рис. 12.13            где V = ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ H .
                                        3
        Г. Момент инерции однородного
шара.       Момент         инерции     шара
относите-льно            оси      вращения,
проходящей через его центр, можно
вычислить,           исполь-зуя    формулу
(12.16). При этом удобно найти
момент инерции половины ша-ра, а
затем удвоить полученный резу-льтат.
Из рис. 12.14 очевидно, что
 f 2 (h) = R 2 − h 2 . Подстановка получен-
ного соотношения в формулу (12.16)
даёт:
         π ⋅ρ H 4
           2 ∫0
 J = 2⋅        ⋅ f (h) ⋅ dh =                                       Рис. 12.14


                                                    70

Страницы