Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 68 стр.

                                   где J xi = mi ⋅ Ri2 – момент инерции точки с
                                   массой mi , то есть выражение (12.14) пред-
                                   ставляет собой сумму моментов инерции
                                   всех материальных точек тела относитель-
                                   но оси OX . В общем случае задача вычис-
                                   ления момента инерции твёрдого тела отно-
                                   сительно оси не является простой. Момент
                                                                  n
                                   инерции тела J = ∑ mi ⋅ri 2 произвольной
                                                                 i =1
                                      формы зависит от распределения массы в
         Рис. 12.9                    теле. В пределах тела распределение массы
можно характеризовать с помощью известной величины плотности
ρ = m V , где V – объём, в котором заключена масса m . Для тела с пере-
менной плотностью вводится понятие плотности в данной точке:
                                              Δm dm
                                    ρ = lim      =    .
                                        ΔV →0 ΔV   dV
Тогда элементарную массу Δmi i ой точки тела можно выразить соотноше-
нием: Δmi = ρi ( x, y, z ) ⋅ ΔVi . Момент инерции тела можно представить в ви-
де суммы моментов инерции составляющих его элементарных масс:
                          n                n
                    J = ∑ Δmi ⋅ ri 2 = ∑ ρi ( x, y, z ) ⋅ ri 2 ⋅ ΔVi .
                         i =1             i =1
Полученное соотношение является приближённым. Точное выражение
момента инерции тела можно получить, заменив в пределе суммирование
интегрированием:
                        J = ∫ r 2 ⋅ dm = ∫ ρ ⋅ r 2 ⋅ dV .    (12.15)
                                   V             V
       Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к ин-
тегрированию по объёму произведения ρ ⋅ r 2 . Однако, если тело однородно
( ρ = const ) и симметрично относительно оси вращения, задача определе-
ния момента инерции упрощается. Ниже приведены примеры вычисления
момента инерции однородных тел, симметричных относительно оси вра-
щения.
       А. Момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно оси
симметрии. Для решения задачи расчёта момента инерции сплошного од-
нородного ( ρ = const ) цилиндра высотой h и радиусом R выделим тонкий
цилиндрический слой радиусом r толщиной dr (рис. 12.10). Масса данно-
го слоя равна:
                         dm = ρ ⋅ dV = ρ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h ⋅ dr .



                                           68