Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

72
222
iii
x
y
ρ
=+
и
222 2
()
iii i
xy xa
ρ
′′′
=+=++
222 222 2
() 2
iii i ii i
x
yxay axa
ρρ
′′′
=
+=++=+⋅⋅+.
С учётом полученных соотношений момент инерции тела относительно
оси
CZ выражается уравнением:
222
00
11 1
().
nn n
iii iii
ii i
JJ m mxy
ρ
== =
==Δ⋅=Δ⋅+
∑∑ ∑
(12.20)
Момент инерции
J тела относительно оси ''OZ описывается соотношени-
ем:
22 2
11 1 1 1
2.
nn n n n
iii ii ii i
ii i i i
JJ m m amxa m
ρρ
== = = =
′
= = Δ⋅ = Δ⋅ +⋅⋅ Δ⋅+ ⋅ Δ
∑∑ ∑ ∑ ∑
(12.21)
Здесь
2
0
1
n
ii
i
Jm
ρ
=
=Δ⋅
∑
, масса тела равна
1
n
i
i
mm
=
=
Δ
∑
. Поскольку начало
координат системы отсчёта
Σ совпадает с центром масс, координаты цен-
тра масс тела в этой системе отсчёта равны нулю, то есть
1
1
0
n
Cii
i
xmx
m
=
=⋅Δ⋅=
∑
, или
1
0
n
ii
i
mx
=
Δ⋅=
∑
. С учётом сделанных замечаний со-
отношение (12.21) преобразуется к выражению
2
0
JJ ma
=
+⋅, отражаю-
щему теорему Штейнера – Гюйгенса.
Рассмотрим пример применения теоремы Штейнера – Гюйгенса для
определения момента инерции тела относительно произвольной оси. Для
этого решим задачу определения момента инерции стержня длиной
L
с
площадью поперечного сечения
Sab
⋅ относительно оси OX
′′
, проходя-
щей через конец стержня (рис. 12.16).
Рис. 12.16
Предварительно необходимо вычислить момент инерции стержня
0
J
относительно оси
OX , проходящей через центр масс C . Для этого рас-
смотрим элементарную массу
dm геометрического множества точек, уда-
лённых относительно оси вращения
OX на одинаковое расстояние r .
Толщина полученного слоя равна
dr . Элементарная масса слоя определя-
ется выражением:
dm dV a b dr
ρ
ρ
=⋅ =⋅⋅⋅ , где
ρ
- плотность стержня.
По определению момент инерции слоя массой
dm относительно оси OX ,
проходящей через центр масс равен:
22
0
dJ dm r a b dr r
ρ
=
⋅=⋅⋅⋅⋅. Интегри-
   ρi2 = xi2 + yi2
   и
  ρi′2 = xi′2 + yi′2 = ( xi + a ) 2 + ρi′2 = xi′2 + yi′2 = ( xi + a ) 2 + yi2 = ρi2 + 2 ⋅ a ⋅ xi + a 2 .
С учётом полученных соотношений момент инерции тела относительно
оси CZ выражается уравнением:
                                          n           n                n
                                 J 0 = ∑ J 0i = ∑ Δmi ⋅ ρi2 = ∑ Δmi ⋅ ( xi2 + yi2 ).          (12.20)
                                       i =1       i =1                i =1
Момент инерции J тела относительно оси O ' Z ' описывается соотношени-
ем:
         n            n               n                         n                   n
   J = ∑ J i = ∑ Δmi ⋅ ρi′ = ∑ Δmi ⋅ ρ + 2 ⋅ a ⋅ ∑ Δmi ⋅ xi + a ⋅ ∑ Δmi .
                                 2
                                                  i
                                                   2                           2
                                                                                              (12.21)
        i =1         i =1            i =1                      i =1                i =1
                 n                                                         n
Здесь J 0 = ∑ Δmi ⋅ ρ , масса тела равна m = ∑ Δmi . Поскольку начало
                            i
                             2

                i =1                                                    i =1
координат системы отсчёта Σ совпадает с центром масс, координаты цен-
тра масс тела в этой системе отсчёта равны нулю, то есть
                                      n
    1 n
xC = ⋅ ∑ Δmi ⋅ xi = 0 , или
    m i =1
                                     ∑ Δm ⋅ x
                                     i =1
                                              i   i   = 0 . С учётом сделанных замечаний со-

отношение (12.21) преобразуется к выражению J = J 0 + m ⋅ a 2 , отражаю-
щему теорему Штейнера – Гюйгенса.
      Рассмотрим пример применения теоремы Штейнера – Гюйгенса для
определения момента инерции тела относительно произвольной оси. Для
этого решим задачу определения момента инерции стержня длиной L с
площадью поперечного сечения S = a ⋅ b относительно оси O′X ′ , проходя-
щей через конец стержня (рис. 12.16).




                              Рис. 12.16
     Предварительно необходимо вычислить момент инерции стержня J 0
относительно оси OX , проходящей через центр масс C . Для этого рас-
смотрим элементарную массу dm геометрического множества точек, уда-
лённых относительно оси вращения OX на одинаковое расстояние r .
Толщина полученного слоя равна dr . Элементарная масса слоя определя-
ется выражением: dm = ρ ⋅ dV = ρ ⋅ a ⋅ b ⋅ dr , где ρ - плотность стержня.
По определению момент инерции слоя массой dm относительно оси OX ,
проходящей через центр масс равен: dJ 0 = dm ⋅ r 2 = ρ ⋅ a ⋅ b ⋅ dr ⋅ r 2 . Интегри-

                                                          72

Страницы