Основы классической механики. Часть II. Динамика материальной точки и системы материальных точек. Грибков С.П - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

75
взаимно перпендикулярны и пересе-каются в точке C центра масс. Это
равносильно закреплению гироскопа в одной точке, совпадающей с цен-
тром масс
C . Силу тяжести гироскопа можно считать приложенной к цен-
тру масс, совпадающему с центром закрепления. Поэтому момент силы
тяжести равен нулю 0
M
=
G
. Следовательно, в отсутствие вращения ось
A
A
′
может занимать произвольное положение в пространстве, то есть равнове-
сие является безразличным.
Если гироскоп привести во вращение вокруг оси
A
A
′
с угловой ско-
ростью
ω
G
и предоставить самому себе, то уравнение моментов для сво-
бодного гироскопа запишется в виде:
0
dL
M
dt
=
=
G
G
, то есть 0
dL
dt
=
G
, а следо-
вательно
L
J const
ω
=⋅=
G
G
, то есть ось вращения, направление которой сов-
падает с вектором
L
J const
ω
=⋅=
G
G
, сохраняет своё положение в простран-
стве (при любых манипуляциях с подставкой гироскопа).
13.3. Движение оси гироскопа под действием внешней силы.
Прецессия
Если к оси гироскопа
A
A
′
(рис. 13.2) приложить внешнюю силу F
G
,
то под действием этой силы ось
A
A
′
начнёт поворачиваться относительно
оси
B
′
. Момент этой силы описывается выражением: ,
M
rF
⎡⎤
=
⎣⎦
GG
G
. По-
скольку векторы
dL
G
и
M
G
согласно уравнению (13.1) направлены одинако-
во, то ось
A
A
′
поворачивается вокруг оси DD
′
, перпендикулярной осям
A
A
′
и
B
′
. Чем больше сила F
G
, тем с большей угловой скоростью Ω
G
про-
исходит вращение. Поскольку
dL M dt
=
⋅
G
G
векторы dL
G
и
L
G
взаимно пер-
пендикулярны (рис. 13.3 отражает конфигурацию, рис. 13.2 – вид сверху).
Из рис. 13.3. и уравнения моментов можно получить:
;
.
dL M dt
dL L d
α
=
⋅
⎧
⎨
=
⋅
⎩
(13.2)
Из уравнений системы (13.2) можно выразить угловую скорость:
.
dMM
dt L J
α
ω
Ω= = =
⋅
(13.3)
Таким образом, ось гироскопа
A
A
′
поворачивается вокруг оси
DD
′
с
угловой скоростью
Ω
G
(рис. 13.2).
Движение оси гироскопа под дей-
ствием внешней силы называется
регулярной
прецессией, а угловая
скорость вращения
Ω
G
называется
угловой
скоростью прецессии.
Рис. 13.3 
взаимно перпендикулярны и пересе-каются в точке C центра масс. Это
равносильно закреплению гироскопа в одной точке, совпадающей с цен-
тром масс C . Силу тяжести гироскопа можно считать приложенной к цен-
тру масс, совпадающему  �     с центром закрепления. Поэтому момент силы
тяжести равен нулю M = 0 . Следовательно, в отсутствие вращения ось AA′
может занимать произвольное положение в пространстве, то есть равнове-
сие является безразличным.
      Если гироскоп привести во вращение вокруг оси AA′ с угловой ско-
         �
ростью ω и предоставить самому себе,� то уравнение моментов      �      для сво-
                                           dL   �               dL
бодного гироскопа запишется в виде:           = M = 0 , то есть    = 0 , а следо-
           �                               dt                   dt
                 �
вательно L = J ⋅ ω = �const , то есть ось вращения, направление которой сов-
                             �
падает с вектором L = J ⋅ ω = const , сохраняет своё положение в простран-
стве (при любых манипуляциях с подставкой гироскопа).

       13.3. Движение оси гироскопа под действием внешней силы.
                               Прецессия
                                                                         �
      Если к оси гироскопа AA′ (рис. 13.2) приложить внешнюю силу F ,
то под действием этой силы ось AA′ начнёт поворачиваться относительно
                                                           �    � �
оси BB′ . Момент этой силы описывается выражением: M = ⎡⎣ r , F ⎤⎦ . По-
                    �   �
скольку векторы dL и M согласно уравнению (13.1) направлены одинако-
во, то ось AA′ поворачивается                    ′
                              � вокруг оси DD , перпендикулярной� осям
AA′ и BB′ . Чем больше сила F , тем
                                 � с� большей угловой� скоростью
                                                          �        Ω про-
исходит вращение. Поскольку dL = M ⋅ dt векторы dL и L взаимно пер-
пендикулярны (рис. 13.3 отражает конфигурацию, рис. 13.2 – вид сверху).
Из рис. 13.3. и уравнения моментов можно получить:
                                 ⎧dL = M ⋅ dt ;
                                 ⎨                                  (13.2)
                                 ⎩dL = L ⋅ dα .
Из уравнений системы (13.2) можно выразить угловую скорость:
                                   dα M         M
                               Ω=     =     =      .                (13.3)
                                   dt    L J ⋅ω
                                        Таким образом, ось гироскопа AA′
                                                                       ′
                                        поворачивается вокруг� оси DD с
                                        угловой скоростью Ω (рис. 13.2).
                                        Движение оси гироскопа под дей-
                                        ствием внешней силы называется
                                        регулярной прецессией,
                                                             � а угловая
                                        скорость вращения Ω называется
                                        угловой скоростью прецессии.
              Рис. 13.3
                                       75

Страницы