Решение задач по механике. Классическая динамика и специальная теория относительности. Грибков С.П - 18 стр.

                                    18
                        (М + m)v' + m (v' + u) = 0,
где v' – скорость тележки с оставшимся вторым человеком. Когда же
спрыгнул другой человек, то
                      (М + m)v' = Mv" + m (v" + u),
где v" – скорость пустой тележки.
  Исключив из последних двух уравнений v', найдем
                              (2 M +3m)m
                      v" =−                u.
                           ( M +m)( M +2m)
  Отношение скорости тележки v" в случае 2) к скорости v' в случае 1)
равно
                         v"          m
                            =1 +          >1 .
                         v'      2( M +m)
  37. Найти потенциал и напряженность гравитационного поля,
созданного однородным шаром массы М и радиуса R, в зависимости от
расстояния r до его центра.
Решение. Сначала определим потенциал поля, создаваемого тонким
однородным сферическим слоем вещества массы m и радиуса a. Для
этого найдем потенциал dϕ в точке Р (r > a), который создает
элементарный пояс dS данного слоя (рис. 17, а). Если масса этого пояса
dm и его точки находятся на расстоянии х от точки P, то dϕ = –γdm/x.
Учитывая, что dm = ½m sinϑ dϑ, получаем




                                Рис. 17
                            γm
                       dϕ =− sin ϑ dϑ .                           (25)
                            2x
  Далее, из теоремы косинусов (для ∆ОАР) следует, что х2 = a2 + r2 –
2arcosϑ. Взяв дифференциал этого выражения, найдем
                      х dx = ar sinϑ dϑ.                          (26)