Решение задач по механике. Классическая динамика и специальная теория относительности. Грибков С.П - 19 стр.

                                        19

  Преобразуем (25) с помощью (26) к виду dϕ = ½(γm/ar)dx и
проинтегрируем это уравнение по всему слою. Тогда
                                 r +a
                         γm            γm
                ϕВНЕ   =−      ∫
                         2ar r −a
                                  dx =− .
                                        r
                                                                  (27)

   Таким образом, потенциал в точке Р вне тонкого однородного
сферического слоя таков, как если бы вся масса этого слоя была
сосредоточена в его центре. Если же точка Р находится внутри слоя
(r < a), то предыдущие расчеты остаются в силе вплоть до
интегрирования. Теперь пределы интегрирования по х будут от a – r до a
+ r. В результате
                       ϕВНУТРИ = –γm/a,                           (28)
т. е. потенциал внутри слоя не зависит от положения точки Р, а
следовательно, он одинаков во всех точках внутри слоя.
  Напряженность поля в точке Р
                          ∂ϕ � −γm / r 2 , r ≥R,
                     Gr =− =�
                          ∂r �    0      , r ≤R.
  Графики зависимостей ϕ(r) и G(r) для тонкого однородного
сферического слоя показаны на рис. 17, б.
  Обобщим полученные результаты на однородный шар массы М и
радиуса R. Если точка Р находится вне шара (r > R), то из формулы (27)
следует
                             ϕВНЕ = –γM/r.                        (29)
  Если точка Р находится внутри шара (r < R), то потенциал в этой
точке
                             ϕВНУТРИ = ϕ1 + ϕ2,
где ϕ1 – потенциал от шара радиуса r, ϕ2 – потенциал от слоя с
радиусами от r до R. Согласно (29),
                              M ( r / R )3    M
                       ϕ1 =−γ              =−γ 3 r 2 .
                                   r          R
  Потенциал ϕ2, создаваемый слоем, одинаков во всех точках внутри
этого слоя. Проще всего ϕ2 вычислить для точки, находящейся в центре
слоя:
                             R
                                  3γM
                    ϕ2 =−γ ∫
                             dM
                              r
                                             (
                                =− 3 R 2 −r 2 ,
                                  2R
                                                         )
                           r