Решение задач по механике. Классическая динамика и специальная теория относительности. Грибков С.П - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы
уменьшается.
67. Доказать, что полная механическая энергия Е планеты ,
движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой
полуоси a. Найти выражение для Е, если известны массы планеты и
Солнца (m и М ), а также большая полуось a эллипса .
Решение. Воспользуемся законами сохранения момента импульса и
энергии. Точка , относительно которой момент импульса планеты
сохраняется, – это центр Солнца . Поэтому для положений 1 и 2 планеты
( рис. 24), в которых вектор скорости перпендикулярен радиусу-вектору,
можно записать
mr
1
v
1
= mr
2
v
2
. (38)
Из закона сохранения полной
механической энергии E следует, что
для тех же положений планеты
22
12
12
22
mvmv
mMmM
rr
γγ−=− . (39)
Рис. 24
Решив совместно уравнения (38) и (39), выразим, например, v
1
через r
1
и r
2
:
2
2
1
121
2
r
M
v
rrr
=
+
И наконец, находим формулу для полной энергии Е как
(
)
(
)
1112
/()
EKvUrmMrr
=+=−+
Учитывая, что r
1
+ r
2
= 2a, получим окончательно E = –γmM/2a.
68. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нерастяжимой
нити длины l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась
на угол ϑ от вертикали , и сообщили ему начальную скорость v
0
перпендикулярно вертикальной плоскости , в которой расположена нить.
При каком значении v
0
максимальный угол отклонения нити от
вертикали окажется равным 90° ?
Решение. На шарик в процессе движения действуют две силы: сила
тяжести и сила натяжения нити . Нетрудно видеть, что относительно
вертикальной оси Z, проходящей через точку О , момент этих сил М
z
= 0.
Следовательно , относительно данной оси момент импульса шарика
L
z
= const, или
lsinϑmv
0
= lmv, (40)
где m – масса шарика , v – его скорость в положении, при котором нить
составляет прямой угол с вертикалью . 
                                     26
Знак минус      показывает,    что      кинетическая   энергия   системы
уменьшается.
  67. Доказать, что полная механическая энергия Е планеты,
движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой
полуоси a. Найти выражение для Е, если известны массы планеты и
Солнца (m и М), а также большая полуось a эллипса.
  Решение. Воспользуемся законами сохранения момента импульса и
энергии. Точка, относительно которой момент импульса планеты
сохраняется, – это центр Солнца. Поэтому для положений 1 и 2 планеты
(рис. 24), в которых вектор скорости перпендикулярен радиусу-вектору,
можно записать
  mr1v1 = mr2v2.                   (38)
  Из закона сохранения полной
механической энергии E следует, что
для тех же положений планеты
mv12    mM mv22    mM
     −γ     =   −γ     .             (39)
 2       r1   2     r2
                                                      Рис. 24
   Решив совместно уравнения (38) и (39), выразим, например, v1 через r1
и r2:
                                        2γM r2
                               v12 =
                                       r1 +r2 r1
  И наконец, находим формулу для полной энергии Е как
                    E =K (v1 ) +U (r1 ) =−γmM /(r1 +r2 )
  Учитывая, что r1 + r2 = 2a, получим окончательно E = –γmM/2a.
  68. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нерастяжимой
нити длины l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась
на угол ϑ от вертикали, и сообщили ему начальную скорость v0
перпендикулярно вертикальной плоскости, в которой расположена нить.
При каком значении v0 максимальный угол отклонения нити от
вертикали окажется равным 90°?
   Решение. На шарик в процессе движения действуют две силы: сила
тяжести и сила натяжения нити. Нетрудно видеть, что относительно
вертикальной оси Z, проходящей через точку О, момент этих сил Мz = 0.
Следовательно, относительно данной оси момент импульса шарика
Lz = const, или
                       lsinϑmv0 = lmv,                              (40)
где m – масса шарика, v – его скорость в положении, при котором нить
составляет прямой угол с вертикалью.

Страницы