Решение задач по механике. Классическая динамика и специальная теория относительности. Грибков С.П - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
70. Однородный сплошной цилиндр массы m
0
и радиуса
R может без трения вращаться вокруг неподвижной
горизонтальной оси О (рис. 27). На цилиндр в один ряд
плотно намотан тонкий нерастяжимый шнур длины l и
массы m. Найти угловое ускорение цилиндра в
зависимости от длины x свешивающейся части шнура.
Считать, что скольжения нет и центр масс намотанной
части шнура находится на оси цилиндра.
Решение. Воспользуемся уравнением моментов
относительно оси О . Для этого найдем момент импульса
системы
Рис. 27
относительно данной оси М
Z
, и соответствующий момент сил N
Z
,.
Момент импульса
M
Z
= Iω
Z
+ Rmv = (m
0
/2 + m)R
2
ω
Z
,
где учтено , что момент инерции цилиндра I = m
0
R
2
/2 и v = ω
Z
R
(отсутствие скольжения шнура). Момент внешних сил тяжести
относительно оси О
N
Z
= Rmgx/l.
Продифференцировав М
Z
по времени и подставив dM
Z
/dt и N
Z
, в
уравнение моментов, получим
0
2
(2)
Z
mgx
lRmm
β =
+
.
71. На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный диск
радиуса r
0
. На него осторожно опустили другой такой же диск,
предварительно сообщив ему угловую скорость ω
0
. Через сколько
времени оба диска будут вращаться с одной и той же угловой
скоростью , если коэффициент трения между дисками равен k?
Решение. Сначала найдем установившуюся угловую скорость
вращения ω. Из закона сохранения момента импульса следует, что
I ω
0
= 2 Iω,
где I – момент инерции каждого диска относительно общей оси
вращения. Отсюда
ω= ω
0
/2.
Теперь рассмотрим поведение одного из дисков, например нижнего .
Его угловая скорость меняется под действием момента N сил трения.
Вычислим N. Для этого выделим на верхней поверхности диска
элементарное кольцо с радиусами r, r + dr. Момент сил трения,
действующих на данное кольцо , равен 
                                 29
  70. Однородный сплошной цилиндр массы m0 и радиуса
R может без трения вращаться вокруг неподвижной
горизонтальной оси О (рис. 27). На цилиндр в один ряд
плотно намотан тонкий нерастяжимый шнур длины l и
массы m. Найти угловое ускорение цилиндра в
зависимости от длины x свешивающейся части шнура.
Считать, что скольжения нет и центр масс намотанной
части шнура находится на оси цилиндра.
  Решение.    Воспользуемся    уравнением   моментов
относительно оси О. Для этого найдем момент импульса Рис. 27
системы
относительно данной оси МZ, и соответствующий момент сил NZ,.
Момент импульса
                  MZ = IωZ + Rmv = (m0/2 + m)R2ωZ,
где учтено, что момент инерции цилиндра I = m0R2/2 и v = ωZR
(отсутствие скольжения шнура). Момент внешних сил тяжести
относительно оси О
                            NZ = Rmgx/l.
  Продифференцировав МZ по времени и подставив dMZ/dt и NZ, в
уравнение моментов, получим
                                2mgx
                         βZ =           .
                             lR(m0 +2m)
  71. На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный диск
радиуса r0. На него осторожно опустили другой такой же диск,
предварительно сообщив ему угловую скорость ω0. Через сколько
времени оба диска будут вращаться с одной и той же угловой
скоростью, если коэффициент трения между дисками равен k?
  Решение. Сначала найдем установившуюся угловую скорость
вращения ω. Из закона сохранения момента импульса следует, что
                            Iω0 = 2 Iω,
где I – момент инерции каждого диска относительно общей оси
вращения. Отсюда
                             ω= ω0/2.
  Теперь рассмотрим поведение одного из дисков, например нижнего.
Его угловая скорость меняется под действием момента N сил трения.
Вычислим N. Для этого выделим на верхней поверхности диска
элементарное кольцо с радиусами r, r + dr. Момент сил трения,
действующих на данное кольцо, равен

Страницы