Решение задач по механике. Классическая динамика и специальная теория относительности. Грибков С.П - 6 стр.

                                         6
(2). Итак, выберем ось OX, как показано на рис. 1, обязательно указав
стрелкой ее положительное направление.
  И только теперь, опираясь на (2), приступим к составлению
уравнений: слева – произведение массы m бруска на проекцию его
ускорения ax, а справа – сумма проекций всех сил на ось OX. Тогда
                              max = mgx + Rx + Fтрx.
  В данном случае gx = g sin α, Rx = 0 и Fтрx = –Fтр, поэтому
                              max = mg sin α – Fтр.
  Так как брусок движется только вдоль оси OX, то это означает,
согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех сил на
любое направление перпендикулярное оси OX равна нулю. Взяв в
качестве такого направления ось OY (рис. 1), получим
                                   R = mg cos α.
  А поскольку Fтр = kR, то в результате получаем:
                         max = mg sin α – kmg cos α ,
и, окончательно,
  ax = g sin α – kg cos α ,                                     (5)
  Если правая часть выражения (5) окажется положительной в
результате конкретных вычислений, то это означает, что ax > 0, и вектор
a направлен вниз по наклонной плоскости.
   2. Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса
r. Найти скорость тела в момент отрыва от поверхности сферы, если его
начальная скорость пренебрежимо мала.
  Решение. На тело действуют сила
тяжести mg и нормальная сила
реакции опоры R. Изобразим эти
силы (рис. 2) и на основании (3)
запишем
                dv
            m      =mg sin ϑ ,
                dt
           v2                                   Рис. 2
         m =mg cos ϑ −R .
            r
Здесь индекс τ несущественен, поэтому мы его опустили.
  Преобразуем первое из уравнений к виду, удобному для
интегрирования. Воспользовавшись тем, что dt = dl/v = rdϑ/v , где dl –
элементарный путь тела А за промежуток времени dt, перепишем первое
уравнение в виде