Математические методы в географии. Гриценко В.А - 16 стр.

                                                               x − xk
                              ϕ ( x ) ≡ f ( x ) − y k − Δy k          .
                                                                 h
Будем предполагать также, что вторая производная функции f(x) на рас-
сматриваемом участке непрерывна и удовлетворяет неравенству
                                          f ' ' (x) ≤ M 2 ,
где M 2 = max f ' ' ( x ) .
            x∈[ a ,b}

   Используя аппарат математического анализа, можно доказать [27], что
для любого х из интервала (xk, xk+1) оценка погрешности линейной интер-
поляции будет иметь следующий вид:
                                                   M 2h 2
                                        ϕ ( x) ≤          .
                                                    8
    Заметим, что вторая производная функции f(x) имеет конкретный меха-
нический смысл. Если f(x) описывает закон движения материальной точки,
то вторая производная этой функции задает ускорение этой точки в момент
времени х. Факт существования ограничения на ускорение (ограничен-
ность второй производной) с физической точки зрения означает, что про-
цесс описываемый функцией f(x), протекает относительно равномерно и
функция изменяется не очень быстро. Таковой, например, будет функция,
задающая изменение суточной температуры воздуха от времени. На прак-
тике именно этим критерием «плавности» скорости изменения процесса
вполне можно воспользоваться для ответа на вопрос об обоснованности
применения линейной интерполяции.
    Окончательно линейная интерполяция считается применимой, если
вносимая ею дополнительная погрешность заметно меньше погрешности
измерений натурных данных. Если обозначить через m номер последнего
разряда приводимых в таблице значений функции, то погрешность измере-
ний будет равна 0,5 ⋅10 − m и условие применимости линейной интерполяции
запишется в виде неравенства:
                                        M 2 h 2 < 4 ⋅ 10 − m .            (2)
   Шаг и точность таблицы обычно стараются согласовать так, чтобы ус-
ловие (2) было выполнено.
   Бывает, однако, что для выполнения этого условия требуется выбирать
слишком малый шаг. В таком случае не считаются с этим условием, а для
отыскания промежуточных значений функции пользуются более сложной
квадратичной интерполяцией или другими приемами [17].
14