Математические методы в географии. Гриценко В.А - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

3
7
Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Из курса физики хорошо известен принцип сохранения энергии в замк-
нутой системе. При исследовании природных зависимостей любые изме-
нения энергии системы почти всегда приводят к необходимости вычисле-
ния различного рода интегралов от соответствующих функций. Известное
из курса математического анализа вычисление определенного интеграла по
формуле Ньютона-Лейбница
∫
−=
b
a
aFbFdxxf )()()( реализовать на прак-
тике оказывается не всегда возможно. Например, может случиться, что
первообразная
F(x) не выражается через элементарные функции или через
другие достаточно изученные функции либо выражается слишком сложно.
В этих случаях приходится обращаться к методам приближенного интег-
рирования, т.е. к методам, позволяющим найти численное значение опре-
деленного интеграла приближенно с любой степенью точности.
1. Методы численного интегрирования
1.1. Метод прямоугольников
Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из гео-
метрического смысла определенного интеграла – значение определенного
интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограничен-
ной графиком функции
y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя
приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение
интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается
в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем по-
дынтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией,
по определенной зависимости интерполирующей значения подынтеграль-
ной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из чис-
ленных методов интегрирования.
Итак, функция
у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется вы-
числить ее интеграл
∫
b
a
dxxf )(. Составим интегральную сумму для f(x) на 
             Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

    Из курса физики хорошо известен принцип сохранения энергии в замк-
нутой системе. При исследовании природных зависимостей любые изме-
нения энергии системы почти всегда приводят к необходимости вычисле-
ния различного рода интегралов от соответствующих функций. Известное
из курса математического анализа вычисление определенного интеграла по
                                  b
формуле Ньютона-Лейбница          ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a )   реализовать на прак-
                                  a
тике оказывается не всегда возможно. Например, может случиться, что
первообразная F(x) не выражается через элементарные функции или через
другие достаточно изученные функции либо выражается слишком сложно.
В этих случаях приходится обращаться к методам приближенного интег-
рирования, т.е. к методам, позволяющим найти численное значение опре-
деленного интеграла приближенно с любой степенью точности.

                1. Методы численного интегрирования

                          1.1. Метод прямоугольников

    Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из гео-
метрического смысла определенного интеграла – значение определенного
интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограничен-
ной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя
приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение
интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается
в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем по-
дынтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией,
по определенной зависимости интерполирующей значения подынтеграль-
ной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из чис-
ленных методов интегрирования.
    Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется вы-
                      b
числить ее интеграл   ∫ f ( x )dx .   Составим интегральную сумму для f(x) на
                      a


                                                                                   37

Страницы