Математические методы в географии. Гриценко В.А - 42 стр.

                                                                                       b
погрешности Rn, которую мы допускаем, вычисляя интеграл                                ∫ f ( x )dx   по
                                                                                       a

формуле прямоугольников, может быть оценена по формуле [27]:
                                      |Rn| ≤ M(b-a)2/2n.                                             (3)
    При неограниченном возрастании n выражение M(b-a)2/2n, а следова-
тельно, и абсолютная величина погрешности Rn будет стремиться к нулю,
т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число рав-
ных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность резуль-
тата будет заведомо меньше заданного числа ε>0, если взять
                                       n > M(b-a)2/2ε.
                                                       b
Следовательно, для вычисления интеграла                ∫ f ( x )dx   с указанной степенью
                                                       a
точности достаточно сегмент [a, b] разбить на число частей, большее числа
M(b-a)2/2ε. [27].
   Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наибо-
лее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую по-
грешность дает другой метод – метод трапеций.

                                  1.2. Метод трапеций

   Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более
точный результат дадут формулы (1) и (2). Однако увеличение числа от-
резков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэто-
му большой интерес представляют формулы, дающие более точные ре-
зультаты при том же числе точек разбиения.
   Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое
правых частей формул (1) и (2):
                                      n −1   n −1
             b                        ∑ yk + ∑ yk +1
                               b − a k =0                  b − a n −1 y k + y k +1
             ∫   f ( x )dx =        ⋅        k =0
                                                       =        ⋅∑                 .                 (4)
             a                   n           2               n k =0        2
   Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом
отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции y=f(x) заме-
нить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим
                                    b − a yk + yk +1
трапецию, площадь которой равна          ⋅           и, следовательно, фор-
                                      n       2
мула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапе-
ций (рис. 10). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой
фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволи-
40