Синтез распределенных регуляторов. Григорьев В.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14
где
()
τ
,,, zyxT - фазовая переменная; x, y, z, - пространственные
координаты;
а – заданный коэффициент; x
L
, y
L
, z
L –
заданные числа.
Граничные и начальные условия для уравнения (1.2) имеют вид:
()()
(
)
(
)
0,,,,,,,,0,,,,0
=
=
=
=
τ
τ
τ
τ
zyxTzyхTzxTzyT
L
(1.3)
()
0
,0,,
=
∂
∂
z
yxT
τ
, (1.4)
(
)
(
)
τ
τ
,,,,, yxUzyxT
L
= , (1.5)
(
)
00,,, =zyxT . (1.6)
Функцией выхода является значение температурного поля
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∗
τ
,,, zzyxT , где
∗
z - заданное число (0<
∗
z <z
L
).
Разложим входное воздействие
(
)
τ
,, yxU в ряд Фурье. Учитывая
граничные условия (1.3), входное воздействие может быть представлено в
виде:
() ()
()()
yxCyxU ⋅⋅⋅⋅=
∑
∞
=
γη
γη
γη
ϕψττ
~
sinsin,,
1,
,
, (1.7)
где
L
х
η
πψ
η
⋅= ;
L
у
γ
πϕ
γ
⋅=
~
.
Найдем реакцию объекта на каждую составляющую ряда (1.7). Эту
реакцию будем искать в виде:
()
(
)
(
)
(
)
yxzHzyxT
=
γηγηγη
ϕ
ψ
τ
τ
~
sinsin,,,,
,,
, (1.8)
Подставляя (1.8) в уравнение (1.2) и преобразуя, придем к следующему
результату:
()
()
()
(
)
0
,
~
,
,
2
,
2
22
,
,
=
∂
∂
−+⋅+
z
zH
zH
a
zH
τ
ϕψτ
τ
γη
γηγη
γη
&
, (1.9)
(
)
∞= ,1,
γη
.
Преобразуем (1.9) по Лапласу при нулевых начальных условиях:
()
()
0,
~
,
,
22
2
,
2
=⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
∂
∂
− szH
a
s
z
szH
γηγη
γη
ϕψ
, (1.10)
(
)
∞= ,1,
γη
,
где
()
szH ,
,
γη
- изображение по Лапласу функции
(
)
τ
γη
,
,
zH при нулевых
начальных условиях
(
)
∞= ,1,
γη
.

Страницы