Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

8 9
Если игроки договорились о выборе стратегии и возможна ситуация
x
, входящая в равновесие по Нэшу, то получается устойчивый договор,
и в дальнейшем ни один из игроков в индивидуальном порядке не
заинтересован в отклонении от равновесия по Нэшу, так как выигрыш
может только уменьшиться. В то же время равновесие по Нэшу не
является устойчивым против отклонения группы игроков. Если сразу
отойдет некоторая коалиция игроков, то они могут выиграть.
Пример 1.1. Семейный спор.
{
}
)Ж(),М( женамужN
=
.
Каждый имеет две альтернативы: пойти в театр (Т) или на футбол (Ф),
т. е.
{
}
ФТ
Ж
М
, xxXX ==
. Если они вместе пойдут на футбол, то Он
получит больше удовольствия, чем Она; если они вместе пойдут в театр,
то – наоборот. Наконец, если они окажутся в разных местах, то они не
получат никакого удовольствия. Рассматриваемая ситуация моделируется
следующей игрой:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
Т
Ж
Т
М2
Т
Ж
Т
М1
Т
Ж
Ф
М2
Т
Ж
Ф
М1
Ф
Ж
Т
М2
Ф
Ж
Т
М1
Ф
Ж
Ф
М2
Ф
Ж
Ф
М1
,,,,,,
,,,,,,
xxKxxKxxKxxK
xxKxxKxxKxxK
( ) ( )
( ) ( )
.
4,10,0
0,01,4
Т
Ф
М
ТФ
Ж
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
Рассмотрим ситуацию (Ф,Ф). Запишем математически:
1
x
–
единственная альтернатива
1
x
, аналогично,
2
x
– единственная
альтернатива
2
x
:
( )
( )
( )
( )
;,||
;,||
;,,,
Т
Ж
Ф
М
2
Ф
Ж
Т
М1
Ф
Ж2
Ф
М121
xxxx
xxxx
xxxxxxx
=
=
===
(
)
(
)
( ) ( )
.01;0||;04;0||
;1;4
2211
21
>=>=
=
=
xxKxxK
xKxK
Следовательно,
(
)
Ф
Ж
Ф
М
, xxx =
– NE. В ситуации (Ф,Ф) у мужа –
(
)
;4ФФ
1
=
K
у жены –
(
)
1ФФ
2
=
K
. Какие у игроков альтернативы?
У мужа –
(
)
;0ТФ
1
=
K
у жены –
(
)
0ФТ
2
=
K
. Так как
(
)
(
)
ТФФФ
1
1
KK
>
и
(
)
(
)
ФТФФ
2
2
KK
>
, то (Ф,Ф) – NE.
Аналогично можно рассмотреть остальные комбинации, откуда
получится, что здесь есть два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях –
(Ф,Ф) и (Т,Т).
Пример 1.2. Дилемма заключенного. Двое подозреваемых в
совершении тяжкого преступления арестованы и помещены в одиночные
камеры, причем они не имеют возможности передавать друг другу какие-
либо сообщения. Их допрашивают поодиночке. Если оба признаются в
совершении преступления, то с учетом их признания им грозит тюремное
заключение сроком по 8 лет каждому. Если оба будут молчать, то они
будут наказаны за совершение какого-то незначительного преступления
(скажем, незаконное хранение оружия или что-нибудь другое) и получат
в этом случае по одному году тюремного заключения. Если же один из
них сознается (С), а другой – нет (Н), то первый за содействие следствию
будет вовсе освобожден от наказания, тогда как второй будет приговорен
к максимально возможному за данное преступление наказанию –
10-летнему тюремному заключению.
Описанная история может быть представлена следующей игрой:
( ) ( )
( ) ( )
.
1,10,10
10,08,8
Н
С
I
НС
II
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
---
---
Рассмотрим каждую ситуацию в отдельности:
(СС):
(
)
(
)
( ) ( )
10;8
;10СН
10;8
;10НС
;8СС8;СС
21
21
->-
-=
->-
-=
-
=
-
=
KK
KK
NE;
(СН):
(
)
(
)
( ) ( )
;910
;8СС
;10
;1НН
;10СН;0СН
21
21
->
/
-
-=
->
-=
-
=
=
KK
KK
не NE;

Страницы