Бескоалиционные игры в нормальной форме. Часть 1. Григорьева К.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6 7
ны иметь какие-то представления относительно предпочте-
ний других участников, а также должны иметь представле-
ния об их представлениях о предпочтениях других и т. д.; здесь
мы приходим к понятию Байесовых игр (статические игры
с неполной информацией);
ü
динамические игры с полной информацией и неполной ин-
формацией.
1.3. Игра в нормальной форме
Определение 1.1. Под игрой в нормальной (или стратегической)
форме понимается объект
{
}
nn
KKXXNG ,,,,,,
11
KK
=
,
где
{
}
nN ,1=
– множество игроков;
i
X
– конечное множество о чистых
стратегий
i
x
i
-го игрока,
N
i
Î
;
i
x
– чистая стратегия
i
-го игрока,а,
ii
XxNi
Î
Î
,
;
ni
xxK ,,
1
K
– вещественная функция выигрышей игрокаа
i, определенная на декартовом произведении
n
XXXX
´
´
´
=
K
21
.
Набор стратегий
Xxxxx
n
Î
=
,,,
1
K
называется ситуацией
игры.
Рассмотрим простейшую статическую модель – игру в нормальной
форме
( ) ( )
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
baba
b
a
b
a
mnmnmm
nn
,,
,,
11
111111
K
KKK
K
,
в которой имеем:
ü участие двух игроков
{
}
2,1
=
N
,
ü конечное множество стратегий каждого из игроков:
{
}
miiX ,1
1
==
– стратегии первого игрока;
{
}
njjX ,1
2
==
– стратегии второго игрока;
ü ситуация игры – пара стратегий
ji,
;
ü
ij
jiK
a
=
,
1
– выигрыш первого игрока и
ij
jiK
b
=
,
2
–
выигрыш второго игрока.
Такая игра называется биматричной, так как ее можно представить
в виде двух матриц
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
aa
a
a
mnm
n
K
KKK
K
1
111
и
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
bb
b
b
mnm
n
K
KKK
K
1
111
.
Отметим, что формально постановка игры в нормальной форме
имеет следующую интерпретацию: игроки одновременно и независимо
друг от друга выбирают свои стратегии
ii
Xx
Î
; после этого возникает
ситуация
n
xx ,,
1
K
; на этом игра прекращается, и
i
-й игрок получает
свой выигрыш
ni
xxK ,,
1
K
, где
N
i
Î
.
Возникает следующая проблема: каждый игрок стремится макси-
мизировать свой выигрыш. Такая постановка математически некоррект-
на, так как игрок знает только свою стратегию
i
x
и не знает других пара-
метров. В связи с этим существуют различные подходы к понятию опти-
мального поведения.
В 1950 г. Джон Нэш (лауреат Нобелевской премии по экономике
1994 г.) ввел понятие ситуации равновесия как метода решений беско-
алиционных игр.
Определение 1.2. Ситуация, образующаяся в результате выбора
всеми игроками некоторых своих стратегий, называется равновесной,
если ни одному из игроков невыгодно изменять свою стратегию при ус-
ловии, что остальные игроки придерживаются равновесных стратегий.
Именно равновесие по Нэшу и его модификации признаются наи-
более подходящими концепциями решения таких игр.
1.4. Равновесие по Нэшу
Введем обозначения. Пусть ситуация игры
xx ,,
1
K
=
niii
xxxx ,,,,
11
K
+-
. Вместо стратегии
i
x
игрок
i
используетует
стратегию
i
x
:
niiii
xxxxxxx ,,,,,,||
111
KK
+-
=
.
Определение 1.3. Будем говорить, что ситуация
x
(это набор
стратегий) является равновесной по Нэшу (NE – Nash Equilibrium), если
имеет место
iiiii
XxNixxKxK
Î
Î
"
³
,||
.

Страницы