Составители:
Рубрика:
34
3
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Пусть R
n
– n-мерное евклидово пространство.
Определение 1.1. Задача минимизации функции
()
1
: RRDf
n
→⊂
при условии
n
RXx ⊂∈
называется в общем
случае задачей нелинейного программирования. Ее стандартное
обозначение
()
.min
DXx
xf
∩∈
→
(1.1)
Если f – линейная функция, а D и X – многогранники, то (1.1)
называется задачей линейного программирования, или линей-
ной программой. Если f – квадратичная функция, а D и X – много-
гранники, то (1.1) называется задачей квадратичного програм-
мирования, или квадратичной программой.
Функция f называется целевой или минимизируемой функцией.
Если X = R
n
, то тогда (1.1) называется задачей безусловной ми-
нимизации. Если X ≠ R
n
, то – задачей условной минимизации.
Определение 1.2. Решением задачи (1.1) будем называть либо
пару (x
*
, f
*
), если существует конечная точка минимума x
*
, либо
пару ({x
k
)
∞
k=1
, f
*
), где {x
k
)
∞
k=1
X – минимизирующая последователь-
ность со свойством
()
fxf
k
k
=
→
∞→
:
*
(){}
Xxxf ∈
=
,inf
. ♣
1
Конечная точка минимума существует не всегда. Например,
для выпуклой функции f (x) = e
x
существуют конечный инфимум
0
*
=f
и минимизирующая последовательность
kx
k
−=
, но нет
конечной точки минимума. Бывает, что нет и конечного инфиму-
ма. Например, если f(x) = ln(x), D = (0, +∞), то инфимум f
*
= –∞
доставляется минимизирующей последовательностью
kx
k
1=
.
Минимизирующая последовательность существует всегда.
Определение 1.3. Точка
Xx ∈
*
называется точкой глобаль-
ного минимума функции f на множестве X, если для всех
Xx ∈
выполняется неравенство
()
()
xfxf ≤
*
. (1.2)
1
Символ окончания утверждений различных типов, доказательств, а также
примеров, когда последующий текст не имеет наименования.
