Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Проблемы сходимости. Григорьева К.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

4
Значение f (x
*
) называется минимальным значением функции
f на X. Точка
Xx ∈
*
называется точкой локального минимума
функции f, если существует такая δ – окрестность S
δ
этой точки,
что для всех x
∈
S
δ
выполняется неравенство (1.2). Если имеет
место f (x
*
) < f (x) для всех x
∈
X \{x
*
} или для всех x
∈
S
δ
\{x
*
}, то
x – точка строгого глобального или локального минимума соот-
ветственно. ♣
Рис. 1.1
На рис. 1.1 изображены глобальный (c), строгий локальный (d)
и нестрогие локальные
[]
bax ,∈
минимумы.
В нелинейном программировании особую роль играют выпу-
клые функции, так как локальный минимум выпуклой функции
является глобальным минимумом, а строгая выпуклость обеспе-
чивает еще единственность глобального минимума.
Определение 1.4. Функция f называется выпуклой на множе-
стве X, если
[]
1,0,, ∈λ∈∀ Xxx
, выполняется неравенство
()()()()()
xfxfxxf λ−+λ≤λ−+λ 11
. ♣ (1.3)
Если в (1.3) заменить ≤ на < при
()
1,0∈λ
, то получим опреде-
ление строго выпуклой функции. ♣
Геометрический смысл этого определения заключается в том,
что график функции f на отрезке выпуклости
[]
xx,
лежит ниже
хорды, соединяющей точки
()()
xfx,
и
()()
xfx,
(рис. 1.2).
Замечание. Выполнение неравенства (1.3) влечет выпуклость
области задания функции f, так как истинность неравенства (1.3)
означает, в частности, задание функции f
в точке
()
xx λ−+λ 1
,
которая является точкой отрезка, соединяющего произвольные
точки x и
x
из области задания X. Неравенство (1.3) не может
быть истинным, если функция f не определена в этих точках. Если
множество X – несвязное, то обязательно найдется точка
Xx ∈
,
для которой функция f не определена. ♣
33
Рекомендуемая литература
1. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных
задач / Ф. П. Васильев. – М., 1988.
2. Пшеничный, Б. Н. Численные методы в экстремальных за-
дачах / Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. – М., 1975.
3. Карманов, В. Г. Математическое программирование /
В. Г. Карманов. – М., 1986.

Страницы