Теория игр. Часть 2. Кооперативные игры и игры в позиционной форме. Григорьева К.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30 31
и какой гарантированный выигрыш может получить в соответствующей
позиции сам игрок j .
В то же время игроку j выгодно отклоняться, если он в конце пути Z,
от которого отклонился, получит выигрыш меньше, чем при отклонении
(см. рис. 3.5).
0
z
3
z
y
2
z
j
Xz
1
Рис. 3.5
Дадим строгое определение стратегии наказания в случае неанта-
гонистической игры двух лиц
.,,,
2121
KKUUG
С игрой G свяжем две вспомогательные АИ
1
G
и
2
G
.
Игра
1
G
– это АИ, построенная на основе игры G, в которой игрок
2 играет против игрока 1, т. е.
12
KK
(см. рис. 3.8).
Это означает, что игрок 1, отклоняясь от договора, выбирает пути,
приносящие ему максимальный доход
1
v
, а игрок 2, защищаясь, мини-
мизирует свои убытки и выбирает пути в АИ
1
G
, которые гарантируютт
ему минимальный проигрыш
1
v
, что бы ни делал игрок 1.
В то же время, минимизируя свои убытки, игрок 2 минимизирует
выигрыш до
1
v
и игроку 1. Таким образом, игрок 2 играет против игрока 1.
Игра
2
G
– это АИ, построенная на основе игры G, в которой игрок
1 играет против игрока 2, т. е.
21
KK (см. рис. 3.9).
Рассуждения здесь аналогичные. Игрок 2 выбирает пути, принося-
щие ему максимальный доход
2
v
, а игрок 1, защищаясь, минимизирует
свои убытки и выбирает пути в АИ
2
G
, которые, гарантируют ему мини-
мальный проигрыш
2
v
, что бы ни делал игрок 2.
В то же время, минимизируя свои убытки, игрок 1 минимизирует вы-
игрыш до
2
v
и игроку 2. Таким образом, игрок 1 играет против игрока 2.
Обозначим:
9
*
2
1
*
1
1
, uu
и
*
22
*
12
, uu
– ситуации абсолютного равновесия в АИ
1
G
и
2
G
соответственно, где первый индекс указывает номер игрока,а,
а второй – номер АИ;
9
y
G
1
,
y
G
2
– подыгры игр
1
G
,
2
G
;
9


»
¼
º
«
¬
ª
yy
y
uuKyv
*
21
*
11
1
1
,
,


»
¼
º
«
¬
ª
yy
y
uuKyv
*
22
*
12
2
2
,
– значения
подыгр
y
G
1
,
y
G
2
, где ситуации

»
¼
º
«
¬
ª
yy
uu
*
21
*
11
,
и

»
¼
º
«
¬
ª
yy
uu
*
22
*
12
,
являютсятся
равновесными в подыграх
y
G
1
,
y
G
2
соответственно.
Пусть

l
zzzxZ ,...,,
100
– путь, реализуемый по договоруу
в ситуации

21
~
,
~
uu
.
z
k+1
y
X
1
z
k
Рис. 3.6
Определение 3.6. Стратегия

$
1
~
u
называется стратегией игрокаа
1 наказания игрока 2, если

11
~
kk
zzu
для
1
XZz
k
, (3.10)
 
yuyu
*
121
~
для
ZyXy ,
1
, т. е. в вершинах
1
XZz
k
стратегия
предусматривает выбор игрока 1 согласно стратегии по договору, а во
всех остальных вершинах игрок 1 действует согласно стратегии (3.10),
которая соответствует ситуации равновесия NE в подыгре
2
G
и гаранти-
рует ему минимальный проигрыш, а игроку 2 – минимальный выигрыш
в случае, если игрок 2 отклонится от стратегии (3.10).

Страницы