Составители:
Рубрика:
32 33
Определение 3.7. Стратегия
$
2
~
u
называется стратегией
1
нака-
зания игрока 2, если
12
~
kk
zzu
для
2
XZz
k
, (3.11)1)
yuyu
*
2
1
2
~
для
ZyXy ,
2
.
Рассуждения относительно этого определения аналогичны рассуж-
дениям относительно определения 3.6, если заменить игрока 1 на игрока
2, а игру
2
G
заменить на игру
1
G
.
Замечание 3.2. Если в вершине
Zz
k
игрок 1 отклоняется, но да-
лее в пути, по которому он решил идти, не существует вершины
11
,,:
ny
XFXyZyy
, то игрок 1 гарантированно проиграет, так как
все остальные игроки начинают играть против него, чтобы наказать
за то, что он отклонился.
Доказать!
Теорема 3.1. Пусть
$$
21
~
,
~
uu
– ситуация в стратегиях наказания.
Для равновесности ситуации
$$
21
~
,
~
uu
достаточно, чтобы для всехх
1,0 lk
выполнялись неравенстваа
,
~
,
~
,
~
,
~
2212
1211
k
k
zvuuK
zvuuK
t
t
$$
$$
(3.12)
где
l
zzz ...,,,
10
– путь, реализовавшийся в ситуации
$$
21
~
,
~
uu
.
Доказательство. Пусть один из игроков, например игрок 1, исполь-
зует стратегию
$
1
u
, отличную от стратегии наказания
$
1
~
u
, для
1
XZz
k
. Из определения наказывающей стратегии
$
2
~
u
следует,,
что игрок 2 проиграет не больше значения подыгры
k
zv
1
, а игрок 1
в АИ
1
G
выиграет не больше, чем значение подыгры
k
zv
1
:
11211
~
, XZzzvuuK
kk
d$$
. (3.13)
Аналогично, если игрок 2 использует стратегию
$
2
u
, отличную
от стратегии наказания
$
2
~
u
для
2
XZz
k
, то из определения нака-а-
зывающей стратегии
$
1
~
u
следует, что игрок 1 проиграет не больше зна-
чения подыгры
k
zv
2
, а игрок 2 в АИ
2
G
выиграет не больше, чем зна-
чение подыгры
k
zv
2
:
22212
,
~
XZzzvuuK
kk
d$$
. (3.14)
Теперь предположим, что неравенства (3.12) имеют место. Дока-
жем, что
$$
21
~
,
~
uu
– NE. По определению NE
,,
~~
,
~
,
~
,
~
,
~
212212
211211
$$$$
$$$$
uuKuuK
uuKuuK
t
t
но
k
zvuuK
1211
~
,
~
t$$
, а
12111
~
, XZzuuKzv
kk
t $$
и
k
zvuuK
2212
~
,
~
t$$
, а
22122
,
~
XZzuuKzv
kk
t $$
.
Следовательно, определение NE выполняется и ситуация
$
1
,
~
u
$
2
~
,
u – NE.
Теорема 3.2. В игре G всегда существует ситуация равновесия
в стратегиях наказания, при этом выигрыши в этой ситуации равны
2,1,,
*
22
*
11
iuuK
i
$$
, где
$
*
1
1
u
и
$
*
2
2
u
– оптимальные стратегии иг-
роков 1 и 2 в АИ
1
G
и
2
G
соответственно.
Доказательство. Пусть
$
*
1
1
u
и
$
*
22
u
– оптимальные стратегии
игроков 1 и 2 в АИ
1
G
и
2
G
соответственно и
^`
l
zzzZ ...,,,
10
– путь,
соответствующий ситуации
$$
*
22
*
1
1
, uu
. Пусть стратегии наказания
$
1
~
~
u
и
$
2
~
~
u
таковы, что о
kk
zuzu
*
111
~
~
для
1
XZz
k
и
kk
zuzu
*
222
~
~
для
2
XZz
k
. Докажем, что ситуация
$$
21
~
~
,
~
~
uu
образует ситуацию NE в стратегиях наказания. Из оптимальности стра-
тегий
$
*
1
1
u
и
$
*
2
2
u
в играх
1
G
и
2
G
соответственно следуют неравен-ен-
ства
,1,0,,
~
~
,
~
~
,,
~
~
,
~
~
2
*
22
*
1
1
2212
1
*
22
*
111211
t
t
lkzvuuKuuK
zvuuKuuK
k
k
$$$$
$$$$
(3.15)
что согласно теореме 3.1 является достаточным условием NE.
Пример 3.2. Рассмотрим игру G (рис. 3.7) :
^`
2,1 N
, ситуация
22,2,1,1,
*
1
u
,
11,
*
2
u
абсолютно равновесна в игре G,
8,
*
2
*
11
uuH
,
2,
*
2
*
12
uuH
. Рассмотрим ситуацию
21,2,1,2,
1
u
,
22,
2
u
. В этой ситуации выигрыши игроков равны соответственно
10 и 1, т. е. игрок 1 получает больше, чем в ситуации
*
2
*
1
, uu
, поэтому
ситуация
21
, uu
является равновесной в игре G. Но она не является аб-
солютно равновесной, так как сужение ситуации
21
, uu
в подыграх
2.2
G
и
4.1
G
не является NE.
Действительно, в подыгре
4.1
G
сужение стратегии
1
u
диктует игро-
ку 1 выбор левой дуги, не оптимальной для него в позиции 1.4.
1
Эта формулировка подразумевает «стратегию игрока 2 наказания игрока 1».
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
