Избранные задачи аэроупругости. Гришанина Т.В - 12 стр.

представляет задачу статической устойчивости. Для закрепленного                        где m – номер итерации, волной отмечен нормированный вектор
крыла ( α 0 – задан) эта задача может быть решена на основе уравне-                    (векторы здесь нормируются так, что их первые элементы равны
ний (2.18), в которых правую часть следует приравнять нулю, а вели-                    единице); в первом приближении задается произвольный вектор, на-
чину скоростного напора q считать неизвестной. Тогда получим од-                       пример, a = [1 0 0 K 0]T . Процесс итерации заканчивается при вы-
нородную систему уравнений                                                             полнении условия ~
                                                                                                        a ( m +1) ≈ ~
                                                                                                                    a ( m ) с заданной точностью (при точности
                       2 k −1                                                          5 % обычно достаточно двух - трех приближений). Таким образом,
                        ∑ (b
                      n =1, 3,...
                                     ж
                                    in   − qg in )an = 0 ,   i = 1, 2, … k,   (2.25)
                                                                                       получается собственный вектор a, которому соответствует наимень-
                                                                                       шее собственное значение q, которое определяется на основании
или в матричном виде
                                                                                       уравнения (2.27) с учетом (2.28) как
                                         [B − qG ]a = 0 ;                     (2.26)
                                                                                                               ~
                                                                                                               a ( m ) = qD~
                                                                                                                           a ( m ) = qa ( m +1) .
                  B = [b ] ,  ж
                             in           G = [ g in ] , a = {a n } .
                                                                                             Откуда
      Здесь B, G – квадратные матрицы; a – вектор-столбец порядка                                                     ~
                                                                                                                      a ( m)                1
k; a = [a1 a3 K a 2 k −1 ]T .                                                                               qдив =     ( m +1)
                                                                                                                               или qдив = ( m +1) .     (2.29)
                                                                                                                     a                   a1
     Наименьший корень характеристического уравнения этой сис-
                                                                                       Так как c αy зависит от M, то qдив определяется таким образом при
темы, т.е. наименьшее положительное собственное значение уравне-
                                                                                       нескольких значениях M < 1 и строится кривая qдив (M ) . Критиче-
ния (2.26), принимается в качестве qдив . Задача о собственных значе-
                                                                                       ское число дивергенции M див определяется графически как точка
ниях решается с помощью стандартной программы.
                                                                                                                          ρa∞2 2
     Кроме того, для определения qдив уравнение (2.26) удобно ре-                      пересечения кривых qдив (M ) и q =     M , где a∞ – скорость звука
                                                                                                                           2
шать методом матричной итерации ([2], с. 147). Для этого оно запи-                     на данной высоте.
сывается в виде                                                                              При заданной перегрузке n y qдив определяется из однородной
                             −1                               −1
                  a = qB Ga = qDa ;                   D = B G.                (2.27)
                                                                                       системы уравнений (2.24), которая для удобства решения записыва-
     При определении вектора-столбца неизвестных коэффициентов                         ется в матричном виде
                                                                                                                    ~    ~
(он определяется только с точностью до произвольного множителя)                                                    [B − qG ]~
                                                                                                                            a =0,                       (2.30)
                                                                                                                                 ~   ~
итерации вычисляются по следующей схеме:                                               где ~
                                                                                           a = [α 0 a3 a5 K a2 k −1 ]T ; матрицы B и G получаются из матриц
                                                     1
              a ( m +1) = D~
                           a ( m) ;          ~
                                             a (m) = (m) a (m) ,              (2.28)   B и G путем замены их первых столбцов, соответственно, на столбцы
                                                    a1
                                                                                 23    24